В противоположность 4-инверсии трехмерная (простран- ственная) инверсия не сводима к каким-либо поворотам 4-систе- мы координат: определитель этого преобразования равен не + + 1, а — 1. Свойства симметрии частиц по отношению к инверсии (Р-преобразование) не предопределяются поэтому соображения- ми релятивистской инвариантности х) . В применении к скалярной волновой функции операция ин- версии заключается в преобразовании Рф(г,г) = ±ф(г,-г), A3.1) где знак «+» или « —» в правой стороне отвечает соответственно истинному скаляру или псевдоскаляру. Отсюда видно, что надо различать два аспекта поведения волновой функции при инверсии. Один из них связан с зависимо- стью волновой функции от координат. В нерелятивистской кван- товой механике рассматривался только этот вопрос, — он приво- дит к понятию четности состояния (которую мы будем назы- вать теперь орбитальной четностью), характеризующей свойс- тва симметрии движения частицы. Если состояние обладает определенной орбитальной четностью (+1 или —1), то это зна- чит, что Другой аспект — поведение (при инверсии координатных осей) волновой функции в данной точке (которую удобно пред- ставлять себе как начало координат). Оно приводит к понятию внутренней четности частицы. Внутренней четности +1 или — — 1 отвечают (для частицы со спином 0) два знака в определении A3.1). Полная четность системы частиц дается произведением их внутренних четностей и орбитальной четности относительно- го движения. «Внутренние» свойства симметрии различных частиц прояв- ляются, разумеется, лишь в процессах их взаимных превраще- ний. Аналогом внутренней четности в нерелятивистской кван- товой механике является четность связанного состояния слож- ной системы (например, ядра). С точки зрения релятивистской теории, не делающей принципиального различия между состав- ными и элементарными частицами, такая внутренняя четность не отличается от внутренней четности частиц, фигурирующих в ) Группу Лоренца, дополненную пространственной инверсией, называют расширенной группой Лоренца (в отличие от исходной группы, не содержа- щей Р, которую в этой связи называют собственной). Расширенная группа содержит все преобразования, не выводящие ось t из соответствующих по- лостей светового конуса. 64 БОЗОНЫ ГЛ. II нерелятивистской теории в качестве элементарных. В нереляти- вистской области, где последние ведут себя как неизменяемые, их внутренние свойства симметрии не наблюдаемы, и поэтому их рассмотрение было бы лишено физического смысла. В аппарате вторичного квантования внутренняя четность вы- ражается поведением ^-операторов при инверсии. Скалярному и псевдоскалярному полям отвечают законы преобразования Р:ф(г,г)^±ф(г,-г). A3.2) Самый же смысл воздействия инверсии на ^-оператор должен быть сформулирован в виде определенного преобразования опе- раторов уничтожения и рождения частиц —такого, чтобы в его результате возникало изменение A3.2). Легко видеть, что тако- вым является Р :ар^ ±а_р, % ->> ±Ь_р A3.3) (и то же самое для сопряженных операторов). Действительно, произведя эту замену в операторе: ^ (р ) A3.4) Р и переобозначив затем переменную суммирования (р —>> — р), мы приведем его к виду ±V>(?, —г). Таким образом, если обозначить через 4pp(t,r) оператор, в котором произведено преобразование A3.3), то можно написать равенство ^F(t,r) = ±^(t,-r). A3.5) Отметим, что преобразование A3.3) имеет вполне естественный вид: инверсия меняет знак полярного вектора р, так что частицы с импульсом р заменяются частицами с импульсом —р. В A3.3) операторы ар и Ьр преобразуются либо оба с верхни- ми, либо оба с нижними знаками. В аппарате вторичного кванто- вания это является выражением одинаковости внутренних чет- ностей частицы и античастицы (со спином 0). Сама же по себе эта одинаковость очевидна уже из того, что частицы и античастицы (со спином 0) описываются одними и теми же (скалярными или псевдоскалярными) волновыми функциями. В релятивистской теории возникает также симметрия по от- ношению к преобразованию, не имеющему аналога в нереляти- вистской теории; его называют зарядовым сопряжением (С-пре- образование). Если взаимно переставить все операторы ар и 6р: С:ар^Ьр, Ьр^ар A3.6) § 13 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С, Р, Т 65 (т. е. взаимно заменить частицы античастицами), то ф перейдет в «зарядово-сопряженный» оператор фсс, причем $c\t,r)=$+(t,r) A3.7) Это равенство выражает симметрию, с которой входят в теорию понятия частиц и античастиц. Отметим, что в определении преобразования зарядового со- пряжения содержится некоторый несущественный формальный произвол. Смысл преобразования не изменится, если ввести в определение A3.6) произвольный фазовый множитель: ар —>> еш6р, 6р —>> е~гаар. Тогда было бы а двукратное повторение этого преобразования по-прежнему приводило бы к тождеству (ф —>> ф). Все такие определения, од- нако, эквивалентны друг другу. Поскольку свойства ^-операто- ров не меняются при умножении на фазовый множитель (ср. ко- нец предыдущего параграфа), можно просто переобозначить ф на фе^а'2, после чего вернуться к определению зарядового сопря- жения в виде A3.6),A3.7). Поскольку зарядовое сопряжение заменяет частицу нетожде- ственной ей античастицей, оно не приводит в общем случае к возникновению какой-либо новой характеристики частицы или системы частиц как таковых. Исключение в этом смысле составляют системы, состоящие из равного числа частиц и античастиц. Оператор С переводит такую систему саму в себя, и потому в этом случае у нее суще- ствуют собственные состояния, отвечающие собственным значе- ниям С = =Ы (последние следуют из того, что С2 = 1). Для опи- сания зарядовой симметрии можно при этом рассматривать ча- стицу и античастицу как два различных «зарядовых состояния» одной и той же частицы, отличающихся значением зарядового квантового числа Q = =Ы. Волновая функция системы предста- вится как произведение орбитальной и «зарядовой» функции и должна быть симметричной по отношению к одновременной пе- рестановке всех переменных (координатных и зарядовых) любой пары частиц. Симметрия же «зарядовой» функции определит зарядовую четность системы (см. задачу) . Понятие зарядовой четности, естественным образом возника- ющее для «истинно нейтральных» систем, должно относиться и *) В этих рассуждениях мы имеем в виду частицы со спином 0. Описанный способ рассмотрения непосредственно обобщается и на другие случаи — см., например, задачу к § 27. 3 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 66 БОЗОНЫ ГЛ. II к истинно нейтральным «элементарным» частицам. В аппарате вторичного квантования это понятие описывается равенством фс = ±ф; A3.8) знаки «+» и « —» отвечают зарядово-четным и зарядово-нечет- ным частицам. В § 11 было указано, что релятивистская инвариантность дол- жна означать также и инвариантность по отношению к 4-инвер- сии. По отношению к оператору скалярного (в смысле 4-пово- ротов) поля это значит, что при таком преобразовании должно быть: ^ ^ всегда с одинаковым знаком «+» в правой стороне. В терми- нах преобразования операторов ар, Ьр превращение ?/>(?, г) в ip(—t, —r) достигается перестановкой в A3.4) коэффициентов при е~грх и егрх, т. е. заменой «Р^?р, ^р^«р A3.9) Заменяя а-операторы 6-операторами, это преобразование вклю- чает в себя взаимную замену частиц античастицами. Мы видим, что в релятивистской теории естественным образом возникает требование инвариантности по отношению к преобразованию, в котором одновременно с пространственной инверсией (Р) и обра- щением времени (Т) производится также зарядовое сопряжение (С); это утверждение называют СРТ-теоремой . В этой связи, однако, уместно подчеркнуть, что хотя изло- женные здесь и в § 11, 12 рассуждения и представляются есте- ственным развитием понятий обычной квантовой механики и классической теории относительности, но полученные таким пу- тем результаты выходят за их рамки как по форме (^-операторы, содержащие одновременно операторы рождения и уничтожения частиц), так и по существу (частицы и античастицы). Эти ре- зультаты нельзя поэтому рассматривать как чисто логическую необходимость. Они содержат в себе новые физические принци- пы, критерием правильности которых может быть лишь опыт. Если обозначить через фСРГ(г,г) оператор A3.4), в котором произведено преобразование A3.9), то можно записать: фсргA,г) = ф(-^-г). A3.10) Сформулировав, таким образом, 4-инверсию как преобразо- вание A3.9), мы тем самым устанавливаем для ^-оператора так- же и формулировку преобразования обращения времени: вместе х) Оно было сформулировано Люверсом (G. Luders, 1954) и Паули (W. Pauli, 1955). § 13 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С, Р, Т 67 с преобразованием СР (его называют комбинированной инвер- сией) оно должно давать A3.9) . Учитывая определения A3.3) и A3.6), находим поэтому Т:ар^ ±а±р, Ър -> ±Ъ±р A3.11) (знаки «±» отвечают таким же знакам в A3.3)). Смысл этого преобразования вполне естествен: обращение времени не только переводит движение с импульсом р в движение с импульсом — —р, но также и переставляет начальные и конечные состояния в матричных элементах; поэтому операторы уничтожения частиц с импульсами р заменяются операторами рождения частиц с им- пульсами —р. Произведя в A3.4) замену A3.11) и переобозначив переменную суммирования (р —>> — р), найдем, что $r(t,r) = ±$+{-t,r). A3.12) Это равенство аналогично обычному правилу обращения вре- мени в квантовой механике: если некоторое состояние описыва- ется волновой функцией ф(г, г), то «обращенное по времени» со- стояние описывается функцией ?/>*(—?, г); переход к комплексно- сопряженной функции связан с необходимостью восстановить нарушенный изменением знака t «правильный» характер зави- симости от времени {Е. P. Wigner, 1932). Поскольку преобразование Т (а с ним и СРТ) переставляют начальные и конечные состояния, то для них понятия собствен- ных состояний и собственных значений не имеют смысла. Они не приводят поэтому к новым характеристикам частиц как тако- вых. О следствиях же, к которым они приводят в применении к процессам рассеяния, будет идти речь в § 69, 71. Рассмотрим, как меняется при преобразованиях С, Р и Т опе- раторный 4-вектор тока j*1 A2.8). Преобразование A3.2) вместе с заменой (do,di) —>> (<9о, — дг) дает Р-Ф,Ъ^^Ф,-%,-т, A3.13) как и должно быть для истинного 4-вектора. Преобразование A3.7) дало бы просто C:(i°Jkr-^(-i°,-Jkr, A3-14) если бы операторы ф и ф^ были коммутативны. Некоммутатив- ность этих операторов возникает, однако, только от некоммута- тивности ар и <2р (или 6р и 6р с одинаковыми р; но в силу правил 1) Если определять операцию Т безотносительно к другим преобразовани- ям, то возникнет тот же произвол в выборе фазового множителя, который имеется для операции С. Требование же симметрии СРТ оставляет произ- вольным выбор фазового множителя лишь в одном из преобразований, С или Т. 68 БОЗОНЫ ГЛ. II коммутации A1.4) перестановка этих операторов приводит лишь к появлению членов, не зависящих от чисел заполнения, т. е. от состояния поля. Отбрасывая (как и в A1.5),A1.6)) эти члены, как несущественные, мы вернемся к правилу A3.14), имеющему естественный смысл: заменяя частицы античастицами, зарядо- вое сопряжение меняет знак всех компонент 4-тока. Поскольку операция обращения времени связана с транспо- нированием начальных и конечных состояний, при применении к произведению операторов она меняет порядок множителей. Так, В данном случае, однако, это обстоятельство несущественно: в силу коммутативности ^-операторов (в указанном выше смы- сле) возвращение к исходному порядку множителей не отража- ется на результате. Заметив также, что при обращении времени (do,di) —>> (—do,di), найдем правило преобразования тока: T:(f,%,r^(f,-l)-t,r. A3.15) Трехмерный вектор j меняет знак в соответствии с классическим смыслом этой величины. Наконец, при преобразовании СРТ имеем СРТ : (jo, j)t)P ->> (-jo, -j)-t,-r, A3.16) в соответствии со смыслом этой операции как 4-инверсии. Под- черкнем в этой связи, что поскольку 4-инверсия сводится к пово- роту 4-системы координат, по отношению к ней вообще не суще- ствует двух типов (истинных и псевдо) 4-тензоров любого ранга. До сих пор мы подразумевали частицы свободными. Но ре- альный смысл квантовые числа четности приобретают лишь при рассмотрении взаимодействующих частиц, когда с ними связы- ваются определенные правила отбора, разрешающие или запре- щающие те или другие процессы. Такой смысл, однако, могут иметь только сохраняющиеся характеристики — собственные зна- чения операторов, коммутирующих с гамильтонианом взаимо- действующих частиц. В силу релятивистской инвариантности коммутативным с га- мильтонианом должен во всяком случае быть оператор СРТ-пре- образования. Что же касается преобразований С и Т (а с ними и Т) по отдельности, то опыт показывает, что электромагнитные и сильные взаимодействия инвариантны по отношению к ним, так что соответствующие квантовые числа четности в этих взаимо- действиях сохраняются. В слабом же взаимодействии эти законы сохранения нарушаются г) . ) Идея о возможном несохранении четности в слабых взаимодействиях § 13 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С, Р, Т 69 Забегая несколько вперед, укажем, что оператор взаимодей- ствия заряженных частиц с электромагнитным полем дается про- изведением операторных 4-векторов А и j. Поскольку зарядовое сопряжение меняет знак j, то инвариантность электромагнитно- го взаимодействия по отношению к этому преобразованию озна- чает, что должен изменяться также и знак А. Другими словами, фотоны — зарядово-нечетные частицы. Указанное поведение операторов А находится в соответствии со свойствами 4-потенциала в классической теории. Действитель- но, из преобразований С: (Ao,A)->(-Ao,-A)t)P, Р: (А,, А)->(!,,,-A)t)_r, СРТ: (Ao,A)^(-Ao,-A)_t)_r, следует: Т: (ЛО,А)->(ЛО,-А)_*,Г, что и отвечает классическому правилу преобразования потенци- алов электромагнитного поля при обращении времени. Требование СРТ-инвариантности не накладывает каких-ли- бо ограничений на свойства частиц самих по себе. Оно приводит, однако, к определенной связи между свойствами частиц и ан- тичастиц. Сюда относится, прежде всего, равенство масс тех и других,— это ясно уже из изложенной в § 11 связи между 4-ин- версией и самим происхождением понятия о частицах и антича- стицах. Далее, из СРТ-инвариантности следует, что коэффициенты пропорциональности между векторами электрического и магнит- ного моментов и вектором спина различаются у частицы и ан- тичастицы лишь знаком. Действительно, магнитный момент ме- няет знак при С- и Т-преобразованиях и (будучи аксиальным вектором) Р-инвариантен. Поэтому преобразование СРТ', пре- вращая частицу в античастицу, в то же время не меняет знак магнитного момента; вектор же спина меняет знак. То же самое относится к электрическому моменту, остающемуся неизменным при обращении времени и меняющему знак при С-преобразова- нии и (по свойствам полярного вектора) при пространственной инверсии. Требования же Р- или Т-инвариантности (если таковые со- блюдаются) ограничивают свойства уже каждой из частиц: они была впервые высказана Ли и Янгом (Т. D. Lee,C. N. Yang, 1956). Еще раньше общая мысль о необязательности Р- и Т-инвариантности физиче- ских законов была высказана Дираком A949). 70 БОЗОНЫ ГЛ. II запрещают существование у частицы электрического дипольного момента. Действительно, единственный вектор, который можно построить для покоящейся элементарной частицы из ее ^-опера- торов,— это вектор оператора ее спина. Этот вектор Р-четен и Т-нечетен; он может поэтому определять только магнитный, но не электрический момент. Подчеркнем, что для этого запрета до- статочно требования уже лишь одной Р- или Т-инвариантности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Преобразования С, Р, Т» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 