В гл. I было показано, каким образом можно построить кван- товое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь при этом от известных свойств поля в классическом пределе и опираясь на представления обычной квантовой механики. Полу- ченная таким образом схема описания поля как системы фотонов несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивист- ское описание частиц в квантовой теории. Электромагнитное поле представляет собой систему с беско- нечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных со- стояний имеются состояния с произвольным числом частиц х) . Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в ре- лятивистской теории также и системы любых частиц. Сохране- ние числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц не меняет- ся при их взаимодействии; сохранение же суммы масс, скажем, в системе электронов означает неизменность также и их чис- ла. В релятивистской же механике закона сохранения массы не существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы (включающая в себя также и энергии покоя частиц). Поэтому число частиц уже не должно сохраняться и тем самым всякая релятивистская теория частиц должна быть теорией систем с бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая теория частиц приобретает характер теории поля. Адекватным математическим аппаратом для описания си- стем с переменным числом частиц является аппарат вторичного квантования (см. III, § 64, 65). В квантовом описании электромаг- нитного поля в роли оператора вторичного квантования высту- пает 4-потенциал А. Он выражается через (координатные) вол- новые функции отдельных частиц (фотонов) и операторы их ро- ждения и уничтожения. Аналогичную роль в описании системы частиц играет оператор квантованной волновой функции. Для его построения надо прежде всего знать вид волновой функции Фактически, разумеется, число фотонов меняется лишь в результате различных процессов взаимодействия. § 10 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 0 51 одной свободной частицы и уравнения, которому эта функция подчиняется. Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия по- ля свободных частиц. Реальные частицы взаимодействуют, и за- дача теории состоит в изучении этих взаимодействий. Но всякое взаимодействие сводится к столкновению, до и после которого систему можно рассматривать как совокупность свободных ча- стиц. В § 1 отмечалось, что это — единственно измеримые объек- ты. Поэтому мы пользуемся полями свободных частиц как сред- ством описания начальных и конечных состояний. Мы начнем релятивистское описание свободных частиц со случая частиц со спином 0. Математическая простота этого слу- чая позволит наиболее ясно выявить основные идеи и характер- ные черты такого описания. Состояние свободной частицы (без спина) может быть полно- стью определено заданием одного лишь ее импульса р. При этом энергия е частицы г) е2 = р2 -\-т2 (где т — масса частицы), или в четырехмерном виде: р2 = т2. A0.1) Как известно, законы сохранения импульса и энергии связа- ны с однородностью пространства и времени, т. е. с симметрией по отношению к любому параллельному смещению 4-системы ко- ординат. В квантовом описании требование этой симметрии озна- чает, что волновая функция частицы с определенным 4-импуль- сом при указанном преобразовании 4-координат может только умножаться на фазовый множитель (с равным единице моду- лем). Этому требованию удовлетворяет лишь экспоненциальная функция с линейным по 4-координатам показателем. Другими словами, волновая функция состояния свободной частицы с опре- деленным 4-импульсом р*1 = (б, р) должна быть плоской волной: const -e~ipx, px = st-pr A0.2) (выбор знака в показателе в релятивистской теории сам по себе условен: он сделан в соответствии с нерелятивистским случаем). Волновое уравнение должно иметь функции A0.2) в качестве частных решений при произвольном 4-векторе р, удовлетворяю- щем условию A0.1). Оно должно быть линейным как выражение принципа суперпозиции: любая линейная комбинация функций A0.2) тоже описывает возможное состояние частицы и потому тоже должна быть решением. Наконец, оно должно быть по воз- можности более низкого порядка; более высокий порядок внес бы лишние решения. 1) Обозначим энергию отдельной частицы е в отличие от энергии Е систе- мы частиц. 52 бозоны гл. п Спин есть момент частицы в системе отсчета, в которой она покоится. Если спин частицы есть «s, то ее волновая функция в системе покоя является трехмерным спинором ранга 2s. Для описания же частицы в произвольной системе отсчета ее вол- новая функция должна быть выражена в виде четырехмерных величин. Частица со спином 0 описывается в системе покоя трехмер- ным скаляром. Такой скаляр, однако, может иметь различное четырехмерное «происхождение»: это может быть четырехмер- ный скаляр ф, но может быть и четвертая компонента 4-вектора фу (времениподобного), у которого в системе покоя отлична от нуля лишь составляющая ф$ г) . Для свободной частицы единственный оператор, который мо- жет войти в волновое уравнение, — это оператор 4-импульса р. Его компонентами являются операторы дифференцирования по координатам и времени: (^) A0.3) Волновое уравнение должно представлять собой дифферен- циальную связь между величинами ф и ф^, осуществляемую с помощью оператора j?. Эта связь должна, разумеется, выражать- ся релятивистски инвариантными соотношениями. Таковыми яв- ляются где т — размерная постоянная, характеризующая частицу 2) . Подставив ф^ из первого уравнения во второе, получим (р2 - т2)ф = 0 A0.5) (О. Klein, В. А. Фок, 1926; W. Gordon, 1927). В раскрытом виде это уравнение записывается как -д^ф = (-^ + А) ф = т2ф. A0.6) Подставив в него ф в виде плоской волны A0.2), получим р2 = = т2, откуда видно, что т — масса частицы. Отметим, что вид уравнения A0.5), конечно, заранее ясен из того, что р —един- ственный скалярный оператор, который можно составить с по- мощью р (по этой причине такому же уравнению удовлетворяет х) Либо, аналогичным образом, временная компонента 4-тензора более вы- сокого ранга; этот случай, однако, привел бы к уравнениям более высокого порядка. 2) Постоянные т введены в A0.4) так, что гр^ и ф имеют одинаковую раз- мерность. Вводить в этих двух уравнениях различные постоянные тщ и rri2 было бы бессмысленно, так как их всегда можно было бы сделать одинако- выми путем переопределения ф или ф^. § 10 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 0 53 каждая из компонент волновой функции частицы с любым спи- ном — это мы неоднократно увидим в дальнейшем). Таким образом, частица со спином 0 описывается по суще- ству всего одним (четырехмерным) скаляром ф, подчиняющимся уравнению второго порядка A0.5). В уравнениях же первого по- рядка A0.4) роль волновой функции играет совокупность вели- чин ф и ф^, причем 4-вектор ф^ сводится к 4-градиенту скаляра ф. В системе покоя волновая функция частицы не зависит от ко- ординат (пространственных) и поэтому пространственные ком- поненты 4-вектора ф^ обращаются, как и должно быть, в нуль. Для проведения вторичного квантования полезно выразить энергию и импульс частицы в виде интегралов по пространству от некоторых билинейных (по фиф*) комбинаций, представля- ющих собой как бы пространственную плотность этих величин. Другими словами, надо найти тензор энергии-импульса Т^, со- ответствующий уравнению A0.5). С помощью этого тензора за- кон сохранения энергии и импульса выражается уравнением д^тр = 0. A0.7) Согласно общим правилам теории поля (см. II, § 32), напишем вариационный принцип, следствием которого являлось бы урав- нение A0.5). Такой принцип должен заключаться в требовании минимальности «интеграла действия» S = ILdAx A0.8) = I от некоторого вещественного 4-скаляра L — плотности лагран- жевой функции поля г) . С помощью скаляра ф (и оператора д^) можно составить вещественное билинейное скалярное выраже- ние вида L = дцф* • д»ф - гп2ф*ф, A0.9) где m — размерная постоянная. Рассматривая фиф* как неза- висимые переменные, описывающие поле («обобщенные коорди- наты» поля (/), легко видеть, что уравнения Лагранжа J_9L_ = дЬ A0 10) дх^ dq^ dq (q^ = d^q) действительно совпадают с уравнениями A0.5) для фиф*, причем тп — масса частицы. Отметим также, что выра- жение A0.9) написано с таким общим знаком, чтобы квадрат 1) Соответствующий вторично квантованный оператор L называют лагран- жианом поля. Для упрощения терминологии будем пользоваться этим тер- мином как для «квантованной», так и для «неквантованной» плотности ла- гранжевой функции. 54 бозоны гл. п производной по времени, \дф/дг\2, входил в L со знаком плюс; в противном случае действие не могло бы иметь минимума (ср. II, § 27). Выбор же общего числового коэффициента в L условен (и отражается лишь на нормировочном коэффициенте в ф). Тензор энергии-импульса вычисляется теперь по формуле (суммирование по всем q). Подставив A0.9), получим Т^ = д»ф* • дуф + дуф* • д^ф - Lg^ A0.12) (эти величины, как и следовало, вещественны, что обеспечивает- ся вещественностью L). В частности, Too = 2^5 - L = d~Wd-? + V^* ¦ V^ + m*W> A0ЛЗ) dt dt dt dt ги dt dx* dx* dt v ; 4-импульс поля дается интегралом = [т^с13х, A0.15) т. е. Tqo и Тм играют роль плотности энергии и импульса. Отме- тим, что величина Too существенно положительна. Формулой A0.13) можно воспользоваться для нормировки волновой функции. Плоская волна, нормированная на одну ча- стицу в объеме V = 1, запишется в виде Действительно, для этой функции Too = ?5 так чт0 полная энер- гия в объеме V = 1 совпадает с энергией одной частицы. Момент импульса, сохранение которого связано с изотропи- ей пространства, тоже может быть выражен в виде простран- ственного интеграла; однако такое представление момента нам в дальнейшем не понадобится. Наконец, помимо законов сохранения, связанных непосред- ственно с пространственно-временной симметрией, уравнения A0.4) допускают еще один закон сохранения. Действительно, лег- ко убедиться, что в силу A0.4) (и таких же уравнений для *ф*) имеет место уравнение V = 0, A0.17) где эи = ш(ф*ф11 + ф;ф) = iWd^ - {д^*)Ф\- (юла) § 11 ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ 55 Отсюда видно, что j^ играет роль 4-вектора плотности тока. При этом A0.17) есть уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения величины Q = J jod6x, A0.19) где « (??) A0.20) Обратим внимание на то, что jo—не положительно опреде- ленная величина. Уже это обстоятельство показывает, что в об- щем случае ее заведомо нельзя интерпретировать как плотность вероятности пространственной локализации частицы. Смысл вы- ражаемого уравнением A0.17) закона сохранения выяснится в следующем параграфе.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновое уравнение для частиц со спином 0» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Фактически, разумеется, число фотонов меняется лишь в результате 