Как и всякая частица, фотон может обладать определенным моментом импульса. Для выяснения свойств этой величины у фотона предварительно напомним, каким образом связаны в ма- тематическом аппарате квантовой механики свойства волновой функции частицы с ее моментом. Момент частицы j складывается из ее орбитального момента 1 и собственного момента — спина s. Волновая функция частицы со спином s есть симметричный спинор ранга 2s, т. е. представля- ет собой совокупность 2s + 1 компонент, которые при поворотах системы координат преобразуются друг через друга по опреде- ленному закону. Орбитальный же момент связан с координат- ной зависимостью волновых функций: состояниям с орбиталь- ным моментом / соответствуют волновые функции, компоненты которых выражаются (линейно) через шаровые функции поряд- ка /. Возможность последовательным образом различать спин и орбитальный момент требует, следовательно, независимости «спиновых» и «координатных» свойств волновых функций: ко- ординатная зависимость компонент спинора (в заданный момент времени) не должна ограничиваться никакими дополнительны- ми условиями. В импульсном представлении волновых функций координат- ной зависимости отвечает зависимость от импульса к. Волновой функцией фотона (в трехмерно поперечной калибровке) являет- ся вектор А (к). Вектор эквивалентен спинору второго ранга, и в этом смысле можно было бы приписать фотону спин 1. Но эта векторная волновая функция подчинена условно поперечности, к А (к) = 0, представляющему собой дополнительное условие, на- лагаемое на импульсную зависимость вектора А (к). В результате эта зависимость уже не может быть задана для всех компонент вектора одновременно произвольным образом, что и приводит к невозможности разделения орбитального момента и спина. Отметим, что к фотону неприменимо также определение спи- на как момента покоящейся частицы, поскольку для фотона, движущегося со скоростью света, вообще не существует системы покоя. Таким образом, для фотона можно говорить лишь о его пол- ном моменте. При этом заранее ясно, что полный момент может пробегать лишь целочисленные значения. Это видно уже из того, что среди величин, характеризующих фотон, нет никаких спино- ров нечетного ранга. Как и для всякой частицы, состояние фотона характеризу- ется также своей четностью, связанной с поведением волновой функции при инверсии системы координат (см. III, § 30). В им- § 6 МОМЕНТ И ЧЕТНОСТЬ ФОТОНА 33 пульсном представлении изменению знака координат отвечает изменение знака всех компонент к. Воздействие оператора ин- версии Р на скалярную функцию <р(к) заключается только в этом изменении: Р<р(к) = ср(—к). При воздействии же на вектор- ную функцию А (к)) надо еще учесть, что изменение направле- ния осей на обратное меняет также знак всех компонент вектора; поэтому РА(к) = -А(-к). F.1) Хотя разделение момента фотона на орбитальный момент и спин лишено физического смысла, тем не менее удобно ввести «спин» s и «орбитальный момент» / формальным образом как вспомогательные понятия, выражающие свойства преобразова- ния волновой функции по отношению к вращениям: значение 5 = 1 отвечает векторности волновой функции, а значение / есть порядок входящих в нее шаровых функций. Мы имеем при этом в виду волновые функции состояний с определенными значениями момента фотона, представляющие собой для свободной частицы сферические волны. Число / определяет, в частности, четность состояния фотона, равную P = (-l)/+1 F.2) В таком же смысле можно представить оператор момента j как сумму is+j. Оператор момента связан, как известно, с опера- тором бесконечно малого поворота системы координат; в данном случае — с действием этого оператора на векторное поле. В сум- ме s~+j оператор 1з действует на векторный индекс, преобразуя друг через друга различные компоненты вектора. Оператор же 1 действует на эти компоненты как на функции импульса (или координат). Подсчитаем число состояний (с заданной энергией), которые возможны при заданном значении j момента фотона (отвлека- ясь при этом от тривиального Bj + 1)-кратного вырождения по направлениям момента). При независимых Ins такое вычисление осуществляется про- стым подсчетом числа способов, которыми можно по правилам векторной модели сложить моменты Ins так, чтобы получить 1) Условимся определять четность состояния по действию оператора ин- версии на полярный вектор, каковым является А (или соответствующий электрический вектор Е = га;А). Оно отличается по знаку от действия на аксиальный вектор Н = г[кА], поскольку инверсия не меняет направление такого вектора: РН(к) = Н(-к). 2 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 34 фотон нужное значение j. Для частицы со спином s = I мы нашли бы таким образом (при заданном отличном от нуля значении j) три состояния со следующими значениями / и четности: l = j±l,P= (-l)l+1 = (-l)j. Если же j = 0, то получается всего одно состояние (с / = 1) с четностью Р = +1. В этом подсчете, однако, не учтено условие поперечности век- тора А; все три его компоненты рассматривались как независи- мые. Поэтому из полученного числа состояний надо еще вычесть число состояний, соответствующих продольному вектору. Такой вектор можно написать в виде k<p(k), откуда ясно, что по сво- им трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам его три компоненты эквивалентны всего одному скаляру (р х) . Следовательно, можно сказать, что лишнее состояние, не совме- стимое с условием поперечности, соответствовало бы состоянию частицы со скалярной волновой функцией (спинор ранга 0), т. е. со «спином 0» 2) . Момент j этого состояния совпадает поэтому с порядком входящих в (р сферических функций. Четность же этого состояния как состояния фотона определяется действием оператора инверсии на векторную функцию lap: т. е. равна (—1)J. Таким образом, из полученного выше числа состояний с четностью (—1)J (двух при j ^ 0 и одного при j = 0) надо вычесть одно. Окончательно мы приходим к результату, что при отличном от нуля моменте фотона j существуют одно четное и одно нечет- ное состояния. При j = 0 мы не получим вовсе никаких состоя- ний. Это означает, что фотон вообще не может иметь равного ну- лю момента, так что j пробегает лишь значения 1, 2, 3, ... Невоз- можность значения j = 0, впрочем, очевидна: волновая функция состояния с равным нулю моментом должна быть сферически- симметрична, что заведомо невозможно для поперечной волны. Принята определенная терминология для различных состоя- ний фотона. Фотон в состоянии с моментом j и четностью (—1)J называют электрическим 2J -польным (или Е^/'-фотоном), а при ) Действительно, когда говорят о характере преобразования величины при вращении, речь идет о преобразовании в данной точке, т. е. при задан- ном к. При таком преобразовании k<^(k) вообще не меняется, т. е. ведет себя как скаляр. 2) Подчеркнем лишний раз, что здесь не имеется в виду состояние какой- либо реальной частицы. Производимый подсчет имеет формальный харак- тер и сводится, с математической точки зрения, к классификации всей со- вокупности преобразующихся друг через друга величин по неприводимым представлениям группы вращения. § 7 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ 35 четности (—1)^'+1—магнитным 2^-полъным (или Му-фотоном). Так, электрическому дипольному фотону отвечает нечетное со- стояние с j = 1, электрическому квадрупольному — четное со- стояние с j = 2, магнитному дипольному — четное состояние с з = 1х) •
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Момент и четность фотона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
