Как известно, выбор потенциалов поля в классической элек- тродинамике неоднозначен: компоненты 4-потенциала А^ мож- но подвергнуть произвольному калибровочному (или градиент- ному) преобразованию вида А^-^А^ + с^х, D.1) где х — произвольная функция координат и времени (см. II, § 18). 28 фотон Для плоской волны, если ограничиться преобразованиями, не меняющими вида потенциала (его пропорциональности мно- жителю ехр(—ik^x^)), неоднозначность сводится к возможности прибавления к амплитуде волны любого 4-вектора, пропорцио- нального 4-вектору к*1. Неоднозначность потенциала сохраняется, конечно, и в кван- товой теории — применительно к операторам поля или к волно- вым функциям фотонов. Не предрешая способа выбора потен- циалов, надо писать вместо B.17) аналогичное разложение для операторного 4-потенциала где волновые функции А^а — 4-векторы вида или в краткой записи, опуская четырехмерные векторные индек- сы: Ак = V^-^=e-ikx, ее* = -1. D.3) V2cj Здесь 4-импульс к^ = (о;, к) (так что кх = cot — kr), a e — единич- ный 4-вектор поляризации . Если ограничиться калибровочными преобразованиями, не меняющими зависимости функции D.3) от координат и време- ни, то они будут состоять в замене е»-> е» + Хк», D.4) где х = х(к^) —произвольная функция. Поперечность поляри- зации означает, что всегда возможна такая калибровка, при ко- торой 4-вектор е имеет вид e" = @,e), ek = 0 D.5) (такую калибровку мы будем называть трехмерно поперечной). В инвариантном четырехмерном виде это требование записыва- ется в виде условия четырехмерной поперечности ек = 0. D.6) Обратим внимание на то, что это условие (как и нормиро- вочное условие ее* = — 1) не нарушается преобразованием D.4) Выражение D.3) не имеет вполне релятивистски-ковариантного D-век- торного) вида, что связано с неинвариантным характером принятой нами нормировки на конечный объем V = 1. Это, однако, не имеет принципиаль- ного значения и вполне компенсируется удобствами такого способа норми- ровки. Мы увидим в дальнейшем, что им обеспечивается простое и автома- тическое получение реальных физических величин в должной инвариантной форме. § 5 КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 29 в силу того, что к2 = 0. С другой стороны, равенство нулю ква- драта 4-импульса частицы означает равенство нулю ее массы. Тем самым выявляется связь между калибровочной инвариант- ностью и равенством нулю массы фотона (другие аспекты этой связи будут указаны в § 14). Никакие измеримые физические величины не должны ме- няться при калибровочном преобразовании волновых функций фотонов, участвующих в процессе. Это требование калибровоч- ной инвариантности играет в квантовой электродинамике даже большую роль, чем в классической теории. Мы увидим на много- численных примерах, что оно является здесь, наряду с требова- нием релятивистской инвариантности, мощным эвристическим принципом. В свою очередь калибровочная инвариантность теории тесно связана с законом сохранения электрического заряда; мы оста- новимся на этом ее аспекте в § 43. Мы упоминали уже в предыдущем параграфе, что коорди- натная волновая функция фотона не может быть истолкована как амплитуда вероятности его пространственной локализации. В математическом аспекте это обстоятельство проявляется в не- возможности составить с помощью волновой функции величи- ну, которая уже хотя бы по своим формальным свойствам мог- ла играть роль плотности вероятности. Такая величина должна была бы выражаться существенно положительной билинейной комбинацией из волновой функции А^ и ее комплексно-сопря- женной. Кроме того, она должна была бы удовлетворять опре- деленным требованиям релятивистской ковариантности — пред- ставлять собой временную компоненту 4-вектора (дело в том, что уравнение непрерывности, выражающее сохранение числа частиц, записывается в четырехмерном виде как равенство нулю дивергенции 4-вектора тока; временной компонентой последнего и является в данном случае плотность вероятности локализации частицы, см. II, § 29). С другой стороны, в силу требования ка- либровочной инвариантности 4-вектор А^ мог бы входить в ток лишь в виде антисимметричного тензора F^ = д^Ау — дуА^ = = —^(кцАу — куАц). Таким образом, 4-вектор тока должен был бы составляться билинейно из F^v и F*^ (и компонент 4-векто- ра кц). Но такой 4-вектор вообще невозможно составить: всякое выражение, удовлетворяющее поставленным условиям (напри- мер, kxF*uFxu), обращается в нуль в силу условия поперечности (к Fv\ = 0), не говоря уже о том, что оно не было бы существен- но положительным (так как содержит нечетные степени компо- нент kfj).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Калибровочная инвариантность» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 