Поставив своей целью рассмотреть электромагнитное поле как квантовый объект, удобно исходить из такого классического описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконеч- ным, но дискретным рядом переменных; такое описание позво- лит непосредственно применить обычный аппарат квантовой ме- ханики. Представление же поля с помощью потенциалов, задава- емых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помощью непрерывного множества переменных. Пусть А (г, t) —векторный потенциал свободного электромаг- нитного поля, удовлетворяющий «условию поперечности» divA = 0. B.1) При этом скалярный потенциал Ф = 0, а поля Е и Н: Е = -А, H = rotA. B.2) Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А: АА - — = 0. B.3) dt2 v J Как известно (см. II, § 52), в классической электродинамике переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных осуществляется путем рассмотрения поля в некотором большом, но конечном объеме пространства V г) . Напомним, как это де- лается, опустив детали вычислений. Поле в конечном объеме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида >r + a?e-*kr), B.4) к где коэффициенты ак зависят от времени по закону ak~e"ia;*, o; = |k|. B.5) В силу условия B.1) комплексные векторы ак ортогональны соответствующим волновым векторам: akk = 0. 1) Во избежании загромождения формул лишними множителями будем полагать V = 1. 20 фотон Суммирование в B.4) производится по бесконечному дискрет- ному набору значений волнового вектора (его трех компонент кХ1 ку, kz). Переход к интегрированию по непрерывному распреде- лению можно произвести с помощью выражения с13к/BтгK для числа возможных значений к, приходящихся на элемент объ- ема к-пространства d3k = dkxdkydkz. Заданием векторов ак полностью определяется поле в данном объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как дискретный набор классических «переменных поля». Для вы- яснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует произвести еще некоторое преобразование этих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогич- ный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) клас- сической механики. Канонические переменные поля определяют- ся посредством L B.6) Pk = —gL(?) (они, очевидно, вещественны). Векторный потенциал выражает- ся через канонические переменные согласно А = л/4тг ^2 (Qk cos kr ~ ~pk sinkr) • B-7) k Для нахождения функции Гамильтона Н надо вычислить полную энергию поля I Г 9 9 выразив ее через величины Qk, Pk. Представив А в виде разло- жения B.7), вычислив Ей Н согласно B.2) и произведя инте- грирование, получим к Каждый из векторов Рк и Qk перпендикулярен волновому вектору к, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направ- ление этих векторов определяет направление поляризации соот- ветствующей волны. Обозначив две компоненты векторов Qk, Pk (в ПЛОСКОСТИ, перпендикулярной к) ПОСредСТВОМ Qkcn Р\аа (а = 1,2), перепишем функцию Гамильтона в виде § 2 КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 21 Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Qkcn Рка- Каждый такой член соответству- ет бегущей волне с определенными волновым вектором и поля- ризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложе- нии говорят как о разложении поля на осцилляторы. Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнит- ного поля. Изложенный способ классического описания поля де- лает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные координаты Qka и обобщенные импульсы Р\^а — как операторы с правилом коммутации PkaQka ~ QbaPka = ~i B-9) (операторы же с разными ка все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также по- тенциал А и, согласно B.2), напряженности Е и Н. Последовательное определение гамильтониана поля требует вычисления интеграла ±J H2)d3x, B.10) в котором Е и Н выражены через операторы Pkcn Qka- Факти- чески, однако, некоммутативность последних при этом не про- является, так как произведения QkaPka входят с множителем coskr-sinkr, обращающимся в нуль при интегрировании по все- му объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается выражение ка в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать. Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной зада- че об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, § 23). Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля ( ?) B-12) ка где Nka — целые числа. К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем па- раграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Qkcn 22 фотон что можно сделать непосредственно с помощью известных фор- мул для матричных элементов координат осциллятора (см. III, § 23). Отличные от нуля матричные элементы равны (Nka\Qka\Nka - 1} = (Nka - l|Qka|iVkQ> = У^. B.13) ? Матричные элементы величин Рка = Qka отличаются от матрич- ных элементов Qka лишь множителем ±ш. В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользо- ваться вместо величин Qkcn Рка их линейными комбинациями uQka =Ь iPkai которые имеют матричные элементы только для переходов Nka —>> Nka ± 1. Соответственно этому вводим опера- торы (классические величины ска, с^а совпадают с точностью до мно- жителя \/2тт/со с коэффициентами akai a^a в разлож:ении B.4)) Матричные элементы этих операторов равны (iVka - l|cka|iVka) = (iVka|C+JiVka - 1) = y/N^. B.15) Правило коммутации меж:ду с\^а и с^а получается с помощью определения B.14) и правила B.9): ? ? 1- B-16) Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида B.4), в котором, однако, коэффициенты являются теперь операторами. Напишем его в виде А = ^(cka Aka + г^А^), B.17) ka где Vi^^Llkr. B.18) Мы ввели обозначение е^ для единичных векторов, указываю- щих направление поляризации осцилляторов; векторы е^ пер- пендикулярны волновому вектору к, причем для каждого к име- ются две независимые поляризации. Аналогично для операторов Е и Н напишем + c+aHkJ, B.19) ha ha причем = iu>Akcn Hka = [nEkJ (n = k/a;). B.20) КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 23 Векторы Ака взаимно ортогональны в том смысле, что B.21) Действительно, если Ака и А?.,а, различаются волновыми векто- рами, то их произведение содержит множитель ег(к~к )г, дающий нуль при интегрировании по объему; если же они различаются лишь поляризациями, то е^е^а '* = 0, так как два независимых направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные соотношения справедливы для векторов Е^, Н^. Их нормиров- ку удобно записать в виде HkaH*k,a,)d3x = uSwSaa'. B-22) Подставив операторы B.19) в B.10) и произведя интегрирова- ние с помощью B.22), получим гамильтониан поля, выраженный через операторы с, с^: ка Этот оператор в рассматриваемом представлении (матричные элементы операторов с, с4" из B.15)) диагоналей, и его собствен- ные значения совпадают, конечно, с B.12). В классической теории импульс поля определяется как инте- грал: Р = — f[BH]d3x. 4тг J При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами B.19) и без труда находим \(PL+QL)n B-24) ка — в соответствии с известным классическим соотношением меж- ду энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения этого оператора P = ^>(iVka + i). B.25) ка Представление операторов, осуществляемое матричными эле- ментами B.15), есть «представление чисел заполнения»,—оно отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания квантовых чисел Nka (числа заполнения). В этом представле- нии операторы поля B.19) (ас ними и гамильтониан B.11)) дей- ствуют на волновую функцию системы, выраженную в функции 24 фотон чисел Nka; обозначим ее Ф(ЛГка,?). Операторы поля B.19) не за- висят явно от времени. Это соответствует обычному в нереляти- вистской квантовой механике шредингеровскому представлению операторов. Зависящим же от времени является при этом состо- яние системы ФGУксп^)) причем эта зависимость определяется уравнением Шредингера гд-^ = НФ. dt Такое описание поля по существу релятивистски инвариант- но, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Мак- свелла. Но эта инвариантность не выявлена явно, —прежде все- го потому, что пространственные координаты и время входят в описание крайне несимметричным образом. В релятивистской теории целесообразно придать описанию внешне более инвариантный вид. Для этой цели надо восполь- зоваться так называемым гейзенберговским представлением, в котором явная временная зависимость перенесена на сами опе- раторы (см. III, § 13). Тогда время и координаты будут равно- правным образом входить в выражения для операторов поля, а состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполне- ния. ^ Для оператора А переход к гейзенберговскому представле- нию сводится к замене в каждом члене суммы в B.17), B.18) множителя егкг на ег(кг-^M т< е. к тому, чтобы под А\^а пони- мать зависящие от времени функции ^^-^. B.26) В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гей- зенберговского оператора для перехода i —> f должен содержать множитель exp{—i(Ei — Ef)t}, где Е{ и Ef — энергии начального и конечного состояний (см. III, § 13). Для перехода с уменьше- нием или увеличением N^ на 1 этот множитель сводится соот- ветственно к e~iujt или eiujt. Это требование будет соблюдено в результате указанной замены. В дальнейшем (при рассмотрении как электромагнитного по- ля, так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзен- берговское представление операторов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квантование свободного электромагнитного поля» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
