Эйкональное приближение, использованное в § 131 для зада- чи о взаимном рассеянии двух частиц, может быть обобщено та- ким образом, чтобы охватить собой также и процессы (в том чи- сле неупругие) при столкновениях быстрой частицы с системой частиц— «мишенью» (R. J. Glauber, 1958). В этом обобщении основные предположения остаются преж- ними. Энергия падающей частицы Е предполагается настолько большой, что Е ^> \U\ и ка ^ 1 , где U — энергия ее взаимодей- ствия с частицами мишени, а а — радиус этого взаимодействия. Рассматривается рассеяние с относительно малой передачей им- пульса: изменение /iq импульса падающей частицы мало по срав- нению с ее первоначальным импульсом Кк: q ^C к. Это условие подразумевает теперь, однако, не только малость угла рассеяния, но и относительную малость передаваемой энергии. Кроме того, будем считать, что скорость падающей частицы v велика по сравнению со скоростями vq частиц внутри мишени: ^>^о- A52.1) § 152 НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 773 Для рассеяния заряженных частиц на атомах это условие равносильно применимости борновского приближения (ср. § 148, 150): из v ^ vo автоматически следует \U\a/Hv <С 1; необходи- мости в развиваемой здесь теории в этом случае, следовательно, вообще не возникает. Иная ситуация, однако, имеет место для ядерных мишеней, в которых частицы связаны не кулоновыми, а ядерными силами. Ниже мы будем, для определенности, гово- рить о рассеянии быстрой частицы на ядрех). Условие A52.1) позволяет рассматривать движение падаю- щей частицы при заданных положениях нуклонов в ядре2). Дру- гими словами, волновая функция системы частица + мишень может быть представлена в виде ф(г, Rb R2,...) = <p(r; Rb R2,... )Ф*(Къ R2, • • • )• A52.2) Здесь <J>^(Ri, R2,...) —волновая функция некоторого (г-го) внут- реннего состояния ядра (Ri, R2,...— радиусы-векторы нукло- нов в нем). Множитель же <р (г; R1R2,...) — волновая функция рассеиваемой частицы (г — ее радиус-вектор) при заданных зна- чениях Ri, R2,- • •, играющих роль параметров в уравнении Шре- дингера а ¦* где Uа(г — Ra) — энергия взаимодействия частицы с а-м нукло- ном, Кк — ее импульс на бесконечности3). Если мы найдем решение уравнения A52.3) с асимптотиче- ской формой (р = eikr + F(n', n; Rb R2,...)— A52.4) r (n7 = r/r, n = k/fc), то волновая функция A52.2) <ф = е'кгФг + F$i— A52.5) г будет описывать рассеяние на ядре, находящемся (до столкнове- ния) в своем i-м состоянии; падающая волна е входит в A52.5) ) Для сколько-нибудь тяжелых ядер условие A52.1) приводит к реляти- вистским скоростям v. Излагая в этом параграфе формальный аппарат в рамках нерелятивистской теории, мы оставляем в стороне вопрос о его фак- тической применимости к тем или иным конкретным процессам рассеяния. 2) Такое приближение аналогично тому, которое лежит в основе теории молекул, где электронное состояние рассматривается при заданном распо- ложений ядер. 3) В A52.3) предполагается, что взаимодействие частицы с ядром сводится к сумме ее парных взаимодействий с отдельными нуклонами. 774 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII в произведении с Ф^. Второй член в A52.5) представляет рас- сеянную волну. Однако это выражение пригодно для определе- ния амплитуды рассеяния лишь при условии достаточно мало- го изменения энергии падающей частицы, т. е. малого измене- ния внутренней энергии ядра; рассматривая движение частицы в постоянном поле «неподвижно закрепленных» нуклонов (чему соответствует уравнение A52.3)), мы тем самым пренебрегаем возможным изменением энергии этого движения. Для выделения амплитуды рассеяния с определенным изме- нением внутреннего состояния ядра надо представить ф в виде ф = е*кгФг + ^//г(п/,п)Ф/^, A52.6) где суммирование производится по различным состояниям ядра; ffi(nf, n) и даст тогда искомую амплитуду рассеяния с заданным переходом ядра г —>> / как функцию от угла рассеяния (угол между пип7). Сравнив A52.6) с A52.5), найдем, что ffi(n',n) = / $}F$idT, A52.7) J где dr = d3Rid3R2 ... —элемент конфигурационного простран- ства ядра. Снова подчеркнем, что эта формула применима лишь при сравнительно малой разности энергий состояний г и /. Само решение A52.4) уравнения A52.3) находится описан- ным в § 131 способом1). Аналогично формуле A31.7) имеем F(n', n; Rb R2,...) = А /[5(р, Rb R2, • • •) - 1]^ 2тгг J A52.8) где введены обозначения ill, R2,...) = ехр[2г?(р, Ri, R2, ...)]> 5(р, Rb R2, • • •) = V 5а(р - Ка±), A52.9) а оо Sa{p ~ Ra±) = —^Г J Ua(r - Ra) dz. ) В § 131 было отмечено, что исходное выражение волновой функции A31.4) применимо лишь на расстояниях а <С ка2. Это обстоятельство не было существенно для дальнейшего вывода в § 131. Но при рассеянии на системе частиц (ядре) оно приводит к дополнительному ограничительному условию. Необходимо, чтобы выражение A31.4) было применимым во всем объеме рассеивающей системы, т. е. должно быть Ro <С ко2, где Ro — радиус ядра (а a — радиус действия потенциалов U). § 152 НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 775 Напомним, что р — проекция радиуса-вектора г на плоскость жу, перпендикулярную к k (Ra^ — такая же проекция радиуса-век- тора Ra); fiQ — р7 ~Р — изменение импульса рассеиваемой части- цы, причем в A52.8) входят лишь поперечные его компоненты. Функции 6а определяют амплитуды упругого рассеяния частицы на отдельных свободных нуклонах согласно /И = A I {exp[2i5a(p) - l]e"iqpd2p. A52.10) 2тгг J При г = / находим из A52.7), A52.8) амплитуду упругого рассе- яния на ядре: /й(п', п) = А у [5(р) - l]e-^d2p, A52.11) где черта означает усреднение по внутреннему состоянию ядра: 5(р)= Гз(р,К1,К2,...)\Ф№иК2,...)\2<1т. A52.12) Эта формула обобщает прежнюю формулу A31.7). Положив в A52.11) п/ = пи воспользовавшись оптической теоремой A42.10), получим полное сечение рассеяния at = 2 !{l - Re ~S)d2p. A52.13) Интегральное сечение упругого рассеяния ае получается ин- тегрированием \fu\2 по направлениям п7. При малых углах рас- сеяния в имеем q « кв и элемент телесных углов do ~ d2q/k2. Поэтому Представив f^fu с fa из A52.11) в виде двойного интеграла (по d2pd2p'), интегрируем по d2q с помощью формулы j e после чего (^-функция устраняется интегрированием по d2р'. В результате находим ае= Г \S-l\2d2p. A52.14) Наконец, полное сечение реакций ar = at - (Je = /A - |?i2) d2p. A52.15) 776 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII Обратим внимание на соответствие выражений A52.13)— A52.15) с общими формулами A42.3)-A42.5). Переходя в по- следних от суммирования (по большим /) к интегрированию по d2p (с р = l/к) и заменив Si на функцию ?(р), мы получим
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неупругое рассеяние при больших энергиях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
