В применениях теории столкновений большое значение имеет вычисление средней потери энергии сталкивающейся частицей. Эту потерю удобно характеризовать величиной dn = V(#n - Ео) dan, A49.1) 760 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII которую мы будем называть эффективным торможением (диф- ференциальным); суммирование производится, разумеется, по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров, dn отнесено к рассеянию в данный элемент телесного углах). Общая формула для эффективного торможения быстрых электронов имеет вид (dan из A48.9)). Исключим, как и при выводе A48.23), из рас- смотрения область совсем малых углов и снова будем считать, что (vq/v) <C $ <С 1; тогда q не зависит от величины переда- ваемой энергии и сумма по п может быть вычислена в общем виде. Сумма вычисляется с помощью теоремы суммирования, ко- торая выводится следующим образом. Матричные элементы от некоторой величины / (функции координат) и ее производной по времени / связаны друг с другом формулой (/)оп = -A/ЩЕп - Eo)fOn. A49.3) Поэтому имеем n ~ ?o)/on(/+)no = ihJ2(f)on(f+U = ih(ff+)oo. Волновые функции стационарных состояний атома можно вы- брать вещественными. Тогда матричные элементы функции ко- ординат / связаны соотношениями /оп = /псь а Для матричных элементов A49.3) имеем соответственно (/)оп — ~(/)пО- Поэтому рассматриваемую сумму можно написать также и в виде /)оо- Взяв полусумму обоих выражений, получим искомую теорему Зп - E0)\f0n\2 = ?(//+ - /+/)оо- A49.4) х) Если электрон проходит через газ, рассеяние на различных атомах про- исходит независимо и величина N dx: (N — число атомов в единице объема газа) есть энергия, теряемая электроном на единице его пути при столкно- вениях, отклоняющих его в данный элемент телесного угла. § 149 ЭФФЕКТИВНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ 761 Применим ее к величине / = ^2ае~ЩГа • Согласно A9.2) ее производная по времени изобразится оператором а Прямое вычисление дает га Подставив в A49.4), получим формулу 2га / т, ,-, 2 = Z, A49.5) которая и осуществляет нужное нам суммированиех). Таким образом, для дифференциального эффективного тор- можения находим формулу ^ = 4тг^^ = ^^. A49.6) гаг> q mv д Область ее применимости дается неравенством {vo/vJ <C $ ^С 1, т. е. vq/v <C aoq ^C г;/г;о. Далее, определим полное эффективное торможение >c(qi) для всех столкновений, сопровождающихся передачей импуль- са, не превышающей некоторого значения q\ такого, что vq/v ^C < aoqi < v/v0: qi ; A49.7) ^min дается формулой A48.11). Знак интеграла нельзя вынести из-под знака суммы, так как gmin зависит от п. Разобьем область интегрирования на две части — от qm[n до qo и от q$ до qi, где q$ — такое значение д, что vq/v ^C qo^o ^C 1. Тогда во всей области интегрирования от gmin до qo можно вос- пользоваться для dan выражением A48.14): qo f * 1) При выводе этого соотношения мы нигде не использовали тот факт, что состояние, отсеченное индексом 0, есть нормальное состояние атома. Поэтому оно имеет место для любого начального состояния. 762 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII откуда ~ " ~ *"" . A49.8) В области же от до Д° Ч\ молено произвести сначала суммирова- ние по п, приводящее для dn к выражению A49.6), которое при интегрировании по dq дает Для преобразования полученных выражений воспользуемся теоремой суммирования, получающейся из формулы A49.4), ес- ли положить в ней е *-^ ' т а а Коммутирование /+ с / дает (/+ в данном случае совпадает с /) 771 Е^» = Е ?S(^ - ^o)|(n|4|0)|2 = Z. A49.10) п п Величины Nqh называют силами осцилляторов соответству- ющих переходов. Введем некоторую среднюю атомную энергию / согласно соотношению ) l A49.11) Используя A49.10), формулу A49.8) можно переписать в виде х(до) = ^ о In ——. Складывая с A49.9), окончательно полу- mv I чаем хЫ = ^ь<^Е. A49.12) В эту формулу входит всего одна характерная для данного атома постоянная2). х) К этому соотношению относится то же замечание, которое было сделано по поводу A49.5). 2)Для водорода / = 0,55гае4/Я2 = 14,9 эВ. Для тяжелых атомов можно ожидать хорошей точности, если вычислить постоянную / с помощью мето- да Томаса-Ферми. Легко установить, как будут зависеть вычисленные та- § 149 ЭФФЕКТИВНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ 763 Выражая q\ через угол рассеяния $i, согласно q\ = mv&\/fi получим эффективное торможение при рассеянии на все углы c Tnv = 4тг—з 1п • A49.13) mv I Если qictQ ^> 1 (т.е. $1 ^> vq/v), to можно выразить к в ви- де функции от наибольшей передаваемой падающим электроном атому энергии. В предыдущем параграфе было указано, что при qao ^> 1 происходит ионизация атома, причем практически весь импульс /iq и энергия передаются одному атомному электрону. Поэтому Hq и е связаны друг с другом, как импульс и энергия электрона, т. е. е = H2q2/2m. Подставляя в A49.12) q\ = 2me;i/fi2, получим эффективное торможение при столкновениях, сопро- вождающихся передачей энергии е <С е±: x(?l) = ^b^!. A49.14) В заключение сделаем следующее замечание. Уровни энергии дискретного спектра атома связаны в основном с возбуждения- ми одного (внешнего) электрона; уже возбуждение двух элек- тронов связано обычно с энергией, достаточной для ионизации атома. Поэтому в сумме интенсивностей осцилляторов перехо- ды в состояния дискретного спектра составляют лишь долю по- рядка единицы; переходы же с ионизацией — порядка Z. Отсюда следует, что основную роль в торможении (тяжелыми атомами) играют столкновения, сопровождающиеся ионизацией,
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эффективное торможение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
