Если сумма внутренних энергий продуктов реакции превы- шает таковую у первоначальных частиц, то реакция имеет по- рог: она может иметь место, лишь если кинетическая энергия Е сталкивающихся частиц (в системе центра инерции) превыша- ет определенное, пороговое, значение Еи. Рассмотрим характер энергетической зависимости сечения реакции вблизи ее порога. При этом будем считать, что в результате реакции образуются снова всего две частицы (реакция типа А + В = А1 + В1). Вблизи порога относительная скорость vf образовавшихся ча- стиц мала. Такая реакция является обратной по отношению к реакции, в которой мала скорость сталкивающихся частиц. За- висимость ее сечения от vf может быть поэтому легко найдена с помощью принципа детального равновесия A44.13) по извест- ной энергетической зависимости реакции, для которой v' было § 147 ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ 743 бы скоростью во входном канале (§143). В широкой категории реакций, когда между частицами А' и В' нет кулонова взаимо- действия (таковы, например, ядерные реакции с образованием медленного нейтрона), мы находим, таким образом, что сечение реакции пропорционально v'2(l/v'), т.е.1) оусог/. A47.1) Тем самым мы находим и зависимость сечения от энергии стал- кивающихся частиц: скорость и', ас ней и сечение реакции про- порциональны корню из разности Е — Еи: аг = Ау/Е - Еп. A47.2) Амплитуды рассеяния по различным каналам связаны друг с другом соотношениями унитарности. Благодаря этой связи от- крытие нового канала приводит к появлению определенных осо- бенностей в энергетических зависимостях сечений также и дру- гих процессов, в том числе упругого рассеяния (Е. Wigner, 1948; А. И. Базъ, 1957; G. Breit, 1957). Для выяснения происхождения и характера этого явления рассмотрим простейший случай, когда ниже порога реакции возможно лишь упругое рассеяние. Вблизи порога частицы А' и В' образуются в состоянии с ор- битальным моментом / = 0 (именно этому и соответствует закон A47.2)). Если участвующие в реакции частицы не имеют спина, то орбитальный момент сохраняется, и потому система частиц А + В тоже находится в s-состоянии. Согласно A42.7) парциаль- ное сечение реакции для / = 0 связано с элементом ^-матрицы, соответствующим упругому рассеянию, формулой -,.@) ^ (Л I С |2\ ^1 /17 QA ®г — ~~2 V — 1^0| )•> ^14/.о) где к — волновой вектор сталкивающихся частиц. Приравняв A47.2) и A47.3), найдем, что выше порога реакции, вблизи от него, модуль |5о| с точностью до величин порядка у/Е — Еи равен \S0\ = l-^Ay/E-En, E>EU, A47.4) где ки = у/2тЕи/Н (га — приведенная масса частиц А л В). В области ниже порога имеется лишь упругое рассеяние, так что |50| = 1, Е < Еп. A47.5) г) Отмеченное в конце §144 постоянство предела, к которому стремится амплитуда ffi при pf —>* 0, как раз соответствует этому результату — сечение A44.4) пропорционально р/. 744 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII Но амплитуда рассеяния, а с нею и So, должны быть аналити- ческими функциями во всей области изменения энергии. Такая функция, принимающая значения A47.4) и A47.5) выше и ниже порога, дается с той же точностью формулой So = e2iSo = e2iSo (l - ^А^Е?- ЕЛ, A47.6) где So — постоянная (при Е < Еи корень л/Е — Еи становится мнимым и модуль стоящего в скобках выражения отличается от единицы лишь на величину более высокого порядка малости). При всех же / ф 0 неупругое рассеяние отсутствует, так что О1 = е , / ф (J, A47.7J причем в области вблизи порога фазы Si следует положить рав- ными их значению при Е = Еи г). Подставив полученные значения Si в формулу A42.2), найдем следующее выражение для амплитуды рассеяния вблизи порога реакции: ¦Р(п 77^ -Р (п\ п Л /"тТ" 771 ^,2г^о /1 /|7 О\ /(С/, Hi) = Ju{") ;Лу?/-?/пе и, A4/.OJ где fuF) — амплитуда рассеяния при Е = Еи. Отсюда диффе- ренциальное сечение рассеяния da „11V.,, . о -v- -u 1т{/п@)е-2йо}при,Е;>Еп, do Ztt f -P fu\^~^^O\ ттт^тт Т? ^" Т? \jn\U)? j при XV <С i^n* Представив амплитуду /п в виде |/п|ега^, запишем окончательно этот результат в форме mBSo-a), Е > Яп, \Ш\A\fnmv\EEn\{cos{2^_a^ E <E^ A47.9) В зависимости от того, находится ли угол 2$о — а в 1-м, 2-м, 3-м или 4-м квадранте, описываемая этой формулой энер- гетическая зависимость сечения имеет вид, изображенный на рис. 50 а, б, в или г. Во всех случаях мы имеем две ветви, лежа- щие по обе стороны от общей вертикальной касательной. При интегрировании выражений A47.9) по do в интегралы от вторых членов отличный от нуля вклад дает только изотроп- ная часть амплитуды /п@) — парциальная амплитуда упругого х) Поскольку функции 5i(E) вещественны как при Е > Еп, так и при Е < < Еи, они разлагаются по целым степеням разности Е — Еи. 1147 ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ 745 5-рассеяния: (е2г^0 — 1)/Bгки). В результате получим для полного сечения упругого рассеяния вблизи порога следующее выраже- ние: а = <тп - 2Ау/\Е-Еи\ sin #о cos #о при при Е> Еп, Е < Еи. da_ dE Эта зависимость имеет вид а или б на рис. 50 соответственно при положительном или отрицательном знаке sin^ocos^o- Таким образом, существование порога реакции приводит к появлению характерной особенности в энергетической зависи- мости сечения упругого рассеяния. Наличие спина у частиц меняет, разумеется, количе- ственные формулы, но общий характер явле- ния остается тем жех). Если ниже порога воз- можны, наряду с упругим рассеянием, также и другие реакции, то аналогичные особенности появляются и в их сечениях. Все они имеют при Е = Еи особенность, вблизи которой являют- Е ся линейными функциями корня у/\Е — Еи различными наклонами выше и ниже порога. В ядерных реакциях с вылетом положи- тельно заряженной частицы имеем дело со слу- чаем, когда между продуктами реакции (ча- стицы А' и В') действуют силы кулонова оттал- кивания. В этом случае сечение реакции при v1 —>> 0 (т.е. Е —>> Еи) экспоненциально стре- мится к нулю вместе со всеми своими произ- водными по энергии и никакой особенности в сечениях других процессов не возникает. Наконец, рассмотрим реакции с образова- нием двух разноименно заряженных медлен- ных частиц, между которыми действуют си- лы кулонова притяжения. Сечение такой ре- акции связано принципом детального равнове- сия с сечением A43.6) обратной реакции между двумя медленными притягивающимися части- цами. Таким образом, находим, что при vr — к постоянному пределу ar = const при v1 —>- 0, da dE Е da dE da dE Рис. 50 0 сечение стремится A47.11) т. е. за порогом реакция возникает сразу с конечным сечением. 1) При отличных от нуля спинах система частиц А' + В' в s-состоянии может иметь отличный от нуля полный момент, в связи с чем появляется возможность различных орбитальных состояний системы А + В. 746 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII Высним характер особенности, которой обладает вблизи по- рога такой реакции сечение упругого рассеяния (А. И. Базъ, 1959). Это, однако, не может быть сделано непосредственно по извест- ному надпороговому закону A47.11) тем простым способом, ко- торый мы использовали выше в случае незаряженных частиц. По сравнению с последним случаем ситуация осложняется те- перь в связи с тем, что система частиц А' + В' обладает в око- лопороговой области (при Е < Еи) связанными состояниями, соответствующими дискретным уровням энергии в кулоновом поле притяжения. Эти состояния могут, с энергетической точ- ки зрения, образоваться при столкновении частиц А и В, но ввиду возможности упругого рассеяния они будут лишь ква- зистационарными. Однако их существование должно привести к появлению резонансных эффектов в (подпороговом) упругом рассеянии, аналогичных брейт-вигнеровским резонансам. Для решения поставленной задачи рассмотрим структуру волновых функций, описывающих процесс столкновения. В соот- ветствии с наличием двух каналов уравнение Шредингера систе- мы взаимодействующих частиц имеет два независимых решения, конечных во всем конфигурационном пространстве; обозначим два таких произвольно выбранных (и произвольно нормирован- ных) решения через ф\ и ф^. Из этих функций можно составить линейные комбинации, описывающие рассеяние в случае, когда тот или иной из каналов является входным. Обозначим каналы, соответствующие парам частиц Д В и А1', В' буквами а и Ь, и пусть сумма ф = а\ф\ -\- СХ2Ф2 отвечает случаю входного кана- ла а; она описывает упругое рассеяние частиц А и В и реакцию А + В —>> А1 + В'. Вблизи порога реакции коэффициенты ai, «2 существенно зависят от малого импульса къ, между тем как са- ми произвольно выбранные функции ф\, 1р2 никакой особенности при къ = 0 не имеют. На больших расстояниях функция ф должна представлять собой сумму двух членов, соответствующих движению пар ча- стиц в каналах а и Ъ. Каждый из них есть произведение «внут- ренних» функций частиц на волновую функцию их относитель- ного движения1). В канале а последняя имеет вид R~ — SaaR^ а в канале b: —SabR^ где i?+, R~ —расходящаяся и сходящаяся волны в соответствующих каналах. На расстояниях го, больших х) Закон A47.11) имеет место не только для полного, но и для парциаль- ных сечений с различными моментами / (ср. конец §143). Поэтому и рас- сматриваемая ниже особенность имеет место во всех парциальных сечениях рассеяния. Ее характер полностью выясняется уже в случае / = 0, кото- рый мы и рассматриваем ниже. Индекс 0 у соответствующих парциальных амплитуд опускаем для упрощения обозначений. § 147 ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ 747 по сравнению с радиусом короткодействующих сил и малых по сравнению с 1//с^, эти функции (и их производные) должны «сшиваться» со значениями, вычисляемыми по волновой функ- ции ф\ в «зоне реакции». Эти условия выражаются равенствами вида - а2а2 = (Ra — SaaRa)\roi OL\bi + a2b2 = — H. где ai, a7l5 bi, b^,... — величины, вычисляемые по функциям ф и ^2 5 согласно сказанному выше вблизи порога их можно считать постоянными, не зависящими от fc&. Разделив почленно первую и вторую пару написанных равенств, мы получим систему двух ли- нейных уравнений для двух неизвестных (ol\/ol2 и Saa), причем в коэффициентах этих уравнений фигурирует лишь одна величи- на, «критически» зависящая от /^ — логарифмическая производ- ная от расходящейся волны в канале Ь] определим эту величину как 2- ГЩ r=rQ Нет необходимости фактически проводить решение этих урав- нений. Достаточно заметить, что интересующая нас величи- на Saa (определяющая амплитуду упругого рассеяния) оказы- вается при этом дробно-линейной функцией от А. Ниже порога величина А вещественна, так как вещественна волновая функ- ция R^ — решение вещественного уравнения Шредингера при вещественном условии на бесконечности (убывание как е~^ьГ, где щ = \/2тъ(Еи — Е)/К). В то же время ниже порога должно быть \Saa\ = 1. Отсюда следует, что дробно-линейная функция Saa(X) должна иметь вид Saa = }^k^, A47.12) где г\ — вещественная, /3 — комплексная постоянная. Определим величину А как функцию импульса къ. Поскольку между частицами А л В действуют силы кулонова притяжения, то rR^ дается кулоновой волновой функцией, асимптотически пропорциональной на бесконечности егкьГ. В кулоновом поле от- талкивания эта функция дается суммой G$ + iFq с Go и -РЪ из A38.4) и A38.7). Переход же к полю притяжения осуществля- ется одновременным изменением знаков к и г1). Произведя эту 1)Ниж:е мы пользуемся кулоновыми единицами. Изменение знаков к и г формально соответствует изменению знака кулоновой единицы длины. 748 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII замену и вычислив логарифмическую производную (см. § 138), получимг) = <lnkb + -\ф( — ) +ф( >. A47.13) 1 — exp(—2тг/kb) тг I 2 1 \кь/ \ кь/1) Здесь къ, предполагается вещественной величиной, так что эта формула относится к области выше порога. При къ —^ 0 пер- вый член в A47.13) обращается в г, а второй стремится к нулю (см. примеч. на с. 695). Таким образом, выше порога имеем Л = г, Е>ЕП. A47.14) Переход к области ниже порога осуществляется заменой к на гк. После этого получим из A47.13) при к —>> О2) A = -ctg—, Е<Еи. A47.15) Полученные формулы решают поставленный вопрос. Сече- ние упругого рассеяния — ^L| с _1|2 Выше порога имеем Saa = \^f-^2ir], E > Еи; A47.16) как и сечение реакции, сечение рассеяния оказывается в этой области постоянным. Отметим, что условие \S\aa ^ 1 означает, что должно быть Im /3 > 0. Ниже порога находим Saa = e^-y^l A47.17) Это выражение имеет бесконечное число резонансов, сгущаю- щихся по направлению к точке Е = Еи. Резонансные энергии являются корнями уравнения Saa = —1, т.е. ) В фигурных скобках опущена, для упрощения дальнейших формул, не зависящая от къ вещественная постоянная (—In2ro — 2С), что сводится лишь к несущественному переопределению комплексной величины C и веществен- ной величины rj в A47.12). 2) Первый член в A47.13) дает —A/2) ctgGr/>^) + г/2, а выражение в фи- гурных скобках обращается в (тг/2) ctgGr/xb) +гтг/2. При этом используется формула ^(ж) — ф(—х) = —TrctgTTX — 1/х (которую мож:но получить лога- рифмическим дифференцированием известного соотношения Г (ж) Г (—ж) = = —тг/жяттгж) и предельное выражение ф(х) рз In ж — 1/2ж при ж —>- сю. 1148 СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 749 (Те они смещены относительно чисто кулоновых уровней (корней уравнения tg(it/щ) = 0) благодаря на- личию короткодействующих сил. По ме- ре приближения энергии Е к порогу се- чение упругого рассеяния осциллирует между нулем и 4тг/А^, как это показано схематически на рис.51. Ширина всей подпороговой области, в которой об- наруживается резонансная структура, определяется величиной энергии перво- го кулонова уровня1) . Рис
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поведение сечений вблизи порога реакции» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
