При изучении движения в центрально-симметричном по- ле в гл-V рассматривались стационарные состояния, в кото- рых частица обладает, наряду с определенными значениями энергии, также и определенными значениями орбитального мо- мента I и его проекции т. Волновые функции этих состояний дискретного (фп1т) и непрерывного (фыгт энергия Н2к2/2т) спектров образуют вместе полную систему, по которой может быть разложена волновая функция произвольного состояния. Такая система, однако, не адекватна постановке задач в теории рассеяния. Здесь удобна другая система, в которой волновые функции непрерывного спектра характеризуются определенным асимптотическим поведением: на бесконечности имеется плоская волна ехр(гкг) и наряду с ней расходящаяся сферическая волна; в этих состояниях частица имеет определенную энергию, но не имеет определенных момента и его проекции. 1) Величина SfyJI в этой формуле отличается от истинной (расходящейся) кулоновой фазы на величину, одинаковую для всех I. § 136 СИСТЕМА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 685 Согласно A23.6), A23.7) такие волновые функции (мы обо- значим их здесь как ф^. ^) даются формулой ^) A3fU) 1=0 Аргумент полиномов Лежандра написан здесь в виде cos в = = kr/fcr, благодаря чему это выражение уже не связано с ка- ким-либо определенным выбором осей координат (как это было в A23.6), где ось z совпадает с направлением распространения плоской волны). Давая вектору к все возможные значения, мы получим набор волновых функций, которые, как сейчас будет показано, взаимно ортогональны и нормированы обычным для непрерывного спектра правилом = BтгK<5(к' - к). A36.2) Для доказательства1) замечаем, что произведение ф^, ф^ выражается двойной суммой по I и V членов, содержащих про- изведения Интегрирование по направлениям г осуществляется формулой (ср. формулу (с. 12) математических дополнений), после чего остается 1=0 0 J 1) Специального доказательства требует по существу лишь взаимная ор- тогональность функций ф^ '. Что касается их нормировки, то она могла бы быть установлена непосредственно по асимптотическому виду функций (ср. § 21). В этом смысле выполнение A36.2) очевидно уже из того, что при г —>> оо единственный не убывающий в этих функциях член ф^ ~ егкг. 686 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII где 7 ~угол между кик'. Но радиальные функции R^ ортого- нальны и нормированы согласно оо / Rk'lRkir2dr = 2тг6(к' - к). Поэтому в коэффициентах перед интегралами можно положить k = kf] воспользовавшись также формулой A24.3), имеем = -^-5(kf — к) У^B/ + l)P/(cos7) = = -^8{к' — кMA — cos7)- Стоящее справа выражение равно нулю при всех к ф к', а при умножении на 2тгк2 sin ^ dj dk/Bтг)^ и интегрировании по всему к-пространству дает 1, что и доказывает формулу A36.2). Наряду с системой функций ф^ , можно ввести также систе- му, соответствующую состояниям, в которых на бесконечности имеется плоская волна и вместе с ней — сходящаяся сфериче- ская. Эти функции, которые обозначим через ф^. , получаются из функций ф^. ' согласно ф^ =ф{_^\ A36.4) Действительно, комплексное сопряжение превращает расходя- щуюся волну (егкг/г) в сходящуюся (е~гкг'/г), а плоская волна принимает вид е~гкг. Для того чтобы сохранить прежнее опре- деление к (плоская волна егкг), надо еще заменить к на —к, что и сделано в A36.4). Заметив, что Р/(— cos#) = (—l)^P/(cos^), получим из A36.1) оо A36.5) Очень важен случай кулонова поля. Здесь функции ф^. ' (и ф^. ^) могут быть написаны в замкнутом виде, непосредствен- но по формуле A35.7). Параболические координаты выражаем посредством к ~(? ~~ v) = kz = kr, кг) = к{т — z) = кг — кг. А 136 СИСТЕМА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 687 Таким образом, получаем для кулонова поля отталкивания1) ^, l,i(kr - кг)), A36.6) ^, 1, -i(fcr + кг)). A36.7) Волновые функции для кулонова поля притяжения получа- ются отсюда одновременной заменой знака у к и г: Характеристикой воздействия кулонова поля на движение частицы вблизи начала координат может служить отношение квадрата модуля ф^. ' или ф^. ' в точке г = 0 к квадрату модуля волновой функции фк = е свободного движения. С помощью формулы ^iM'-ibMiM1-!)- легко находим для поля отталкивания: A36.10) l! - 2тг ~~ к(е2п/к - 1) и для поля притяжения: A36.11) Функции ф^ и ^ играют существенную роль в задачах, связанных с применениями теории возмущений в непрерывном спектре. Предположим, что в результате некоторого возмуще- ния V частица совершает переход между состояниями непре- рывного спектра. Вероятность перехода определяется матрич- ным элементом fV. A36.12) Возникает вопрос: какие именно решения волнового уравнения должны быть взяты в качестве начальной (^) и конечной (ф/) г) Пользуемся кулоновыми единицами. 688 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII волновых функций для того, чтобы получить амплитуду перехо- да частицы из состояния с импульсом Нк в состояние с импульсом Кк' на бесконечности1). Покажем, что для этого надо выбрать ipi = ф^ ' 5 ipf = ф^,' A36.13) (A. Sommerfeld, 1931). Это становится ясным, если рассмотреть, как решался бы поставленный вопрос методом теории возмущений, применен- ной не только по отношению к возмущению V", но и по отно- шению к полю U(г), в котором движется частица. В нулевом (по U) приближении матричный элемент A36.12) имеет вид В следующих (по U) приближениях этот интеграл заменяется рядом, каждый из членов которого выражается интегралом ви- да 7TI 77> | Т\\ ( Т? Т? I 'С\\ С/к — -C^ki + 2U) . . . \tj\z — Ь\^п + Z(Jj (ср. §43, 130); в числителях стоят (расположенные в различных последовательностях) матричные элементы по отношению к не- возмущенным плоским волнам, а все полюсы обходятся при ин- тегрированиях по одному и тому же определенному правилу. С другой стороны, этот ряд может быть получен как матричный элемент A36.12) с волновыми функциями фг и ipf, представлен- ными в виде рядов теории возмущений по полю U. Тот факт, что в результате должна получиться сумма интегралов, в которых все полюсы обходятся по одинаковому правилу, означает, следо- вательно, что по такому же правилу обходятся полюсы в членах рядов, изображающих ф{ и ф%. Но если решать волновое урав- нение по теории возмущений с этим правилом обхода, то авто- матически получится решение, содержащее в своей асимптотике расходящуюся (наряду с плоской) волну. Другими словами, вол- новые функции, которые в нулевом (по U) приближении имели вид 1) Пример такого процесса: электрон, сталкиваясь с неподвижным тяже- лым ядром, испускает фотон, меняя при этом свою энергию и направление движения; возмущением V является взаимодействие электрона с полем из- лучения, а кулоново поле ядра—полем U, для которого определены функ- ции ф^ ' и т/4 (см- IV, §92, 96). Другим примером является столкновение электрона с атомом, сопровождающееся ионизацией последнего (см. зада- чу 4 § 148). § 137 СТОЛКНОВЕНИЯ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 689 должны быть заменены точными решениями волнового уравне- ния соответственно ф^ и ф_^ = (^к' ) > этим и доказывается правило (A36.13)). Выбор щ^,' в качестве конечной волновой функции относит- ся также и к случаям перехода из состояния дискретного в со- стояние непрерывного спектра (вопрос же о способе выбора ф{ в этом случае естественно, не возникает).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Система волновых функций непрерывного спектра» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
