Особого рассмотрения требует рассеяние медленных (ка <С 1) частиц в поле притяжения в случае, когда в дискретном спектре отрицательных уровней энергии имеется s-состояние с энергией, малой по сравнению с величиной поля U в преде- лах радиуса а его действия; обозначим этот уровень буквой е (е < 0). Энергия Е рассеиваемой частицы, будучи малой вели- чиной, близка к уровню ?, т. е. находится, как говорят, почти в резонансе с ним. Это приводит, как мы увидим, к значительному увеличению сечения рассеяния. Наличие неглубокого уровня молено учесть в теории рассе- яния формальным методом, основанным на следующих замеча- ниях. В точном уравнении Шредингера для функции \ = rRo® (при / = 0) во «внутренней» области поля (г < а) молено пренебречь Е по сравнению с U: x"-^U®X = 0, r~a. A33.1) Во «внешней» же области (г ^ а), напротив, можно пренебречь величиной поля U: Х" + ^ЕХ = О, г^а. A33.2) Решение уравнения A33.2) должно было бы быть «сшито» при некотором г\ (таком, что 1/к ^> г\ ^> а) с решением уравнения A33.1), удовлетворяющим граничному условию %@) = 0; усло- вие сшивания заключается в непрерывности отношения xVx? не зависящего от общего нормировочного множителя волновой функции. Однако вместо того, чтобы рассматривать движение в обла- сти г ^ а, мы наложим на решение во внешней области должным образом подобранное граничное условие для xVx ПРИ малых г; поскольку внешнее решение медленно меняется при г —>- 0, мож- но формально отнести это условие к точке г = 0. Уравнение § 133 РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 667 A33.1) в области г ~ане содержит Е\ поэтому заменяющее его граничное условие тоже не должно зависеть от энергии частицы. Другими словами, оно должно иметь вид = -х, A33.3) где к—некоторая постоянная. Но раз к не зависит от Е, то это же условие A33.3) должно относиться и к решению урав- нения Шредингера для малой отрицательной энергии Е = — |ё|, т. е. к волновой функции соответствующего стационарного со- стояния частицы. При Е = — \е\ имеем из A33.2) A33.4) (Д) — постоянная), и подстановка этой функции в A33.3) пока- зывает, что к есть положительная величина, равная х=*^-. A33.5) а Применим теперь граничное условие A33.3) к волновой функции свободного движения X = const • sm(kr + So), представляющей собой точное общее решение уравнения A33.2) при Е > 0. В результате получим для искомой фазы So ctgoo = — = —л/—. A33.6) к у Е Поскольку энергия Е ограничена здесь лишь условием afc < 1 (но она не должна быть малой по сравнению с |^|), то фаза #о, а с нею и амплитуда s-рассеяния могут оказаться не малыми величинами. Фазы же Si с / > 0, а с ними и соответствующие парциаль- ные амплитуды остаются по-прежнему малыми. Поэтому пол- ную амплитуду можно по-прежнему считать совпадающей с ам- плитудой 5-рассеяния f « — (e2iSo — 1) = 1 J ~ 2iky J k(ctgS0 -г)' Подставив сюда A33.6), получим / = —hz A33-7) 668 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII и для полного сечения рассеяния 4тг 2тгН2 а = ^—2 = ^^—^-. A33.8) Таким образом, рассеяние по-прежнему изотропно, но его сече- ние зависит от энергии, и в области резонанса (Е ~ \е\) ока- зывается большим по сравнению с квадратом радиуса действия поля а2 (поскольку 1/к ^> а). Подчеркнем, что вид формулы A33.8) не зависит от деталей взаимодействия частиц на малых расстояниях между ними и всецело определяется значением ре- зонансного уровнях). Полученная формула имеет несколько более общий характер, чем сделанное при ее выводе предположение. Подвергнем функ- цию U(г) небольшому изменению; при этом изменится и зна- чение постоянной н в граничном условии A33.3). Соответству- ющим изменением U(г) можно добиться обращения к в нуль, а затем сделать малой отрицательной величиной. При этом мы получим ту же формулу A33.7) для амплитуды рассеяния и ту же формулу A33.8) для сечения. В последней, однако, величи- на \е\ = Н2к2/2т является теперь просто характерной для по- ля U® постоянной, но отнюдь не уровнем энергии в этом поле. В таких случаях говорят, что в поле имеется виртуальный уро- вень, имея в виду, что хотя в действительности никакого близко- го к нулю уровня нет, но уже небольшого изменения поля было бы достаточно для того, чтобы такой уровень появился. При аналитическом продолжении функции A33.7) в плоско- сти комплексного Е на левой вещественной полуоси ik переходит в —л/—2тЕ/Н (см. § 128), и мы видим, что амплитуда рассеяния имеет полюс при Е = —\s\ в соответствии с общими результатами § 128. Напротив, виртуальному уровню, как и следовало, не со- ответствует на физическом листе никакой особенности в ампли- туде рассеяния (полюс же Е = —\s\ амплитуда рассеяния имеет на нефизическом листе — см. примеч. на с. 637). С формальной точки зрения формула A33.7) соответствует случаю, когда в выражении A25.15) /о= г go(k) -ik первый член разложения функции go (к) отрицателен и аномаль- но мал. Для уточнения формулы можно учесть еще и следующий х) Формула A33.8) была впервые получена Вигнером (Е. Wigner, 1933); идея изложенного вывода принадлежит Бете и Пайерлсу (Н. A. Bethe, R.Peierls, 1935). § 133 РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 669 член разложения, написав A33.9) Л _ хо + (l/Vofe2 - гк (Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинский, 1944); напомним, что при до- статочно быстром убывании поля функции gi(k) разлагаются по четным степеням к— см. § 132. Мы обозначили здесь через — хо величину go(O), имея в виду сохранить обозначение к для вели- чины A33.5), связанной с уровнем энергии е. Согласно сказан- ному выше н определяется как значение — гк = х, обращающее в нуль знаменатель в A33.9), т.е. корень уравнения х=хо + A/2)гох2. A33.10) Поправочный член гок2/2 в знаменателе в A33.9) мал по срав- нению с хо в силу предполагаемой малости /с, но сам по себе он имеет «нормальный» порядок величины: коэффициент го ~ а (этот коэффициент всегда положителен—см. задачу 1). Следу- ет подчеркнуть, что учет этого члена является еще законным уточнением формулы для амплитуды рассеяния, в которой пре- небрежено вкладами от моментов / ф 0: он дает в / поправку относительного порядка а/с, между тем как вклад от рассеяния с / = 1 имеет относительный порядок (а/сK. При к —>> 0 амплитуда /о —> — 1/хо, т.е. 1/хо совпадает с введенной в предыдущем параграфе длиной рассеяния а. Коэф- фициент го в формуле go(fc) = kctgSo = -l/a + (l/2)r0k2 A33.11) называют эффективным радиусом взаимодействия1). Для сечения рассеяния имеем из A33.9) _ 4тг G ~ (хо-A/2)го/с2J + /с2* Если пренебречь в знаменателе членом ^ /с4 (хотя он и явля- ется законным), то эту формулу можно представить (с учетом 1) Укажем значения постоянных а и г о для важного случая взаимодей- ствия двух нуклонов. Для нейтрона и протона с параллельными спинами (изотопическое состояние с Т = 0) а = 5,4 • 10~13, го = 1,7 • 10~13 см; этим значениям соответствует истинный уровень с энергией |е| = 2,23 МэВ — основное состояние дейтрона. Для нейтрона же и протона с антипарал- лельными спинами (изотопическое состояние сТ = 1) а = — 24 • 10~13, г0 = 2,7 • 10~ см; этим значениям отвечает виртуальный уровень \е = 0,067 МэВ. В силу изотопической инвариантности последние значения долж- ны относиться также и к системе двух нейтронов с антипараллельными спи- нами (параллельные спины система пп в s-состоянии вообще не может иметь в силу принципа Паули). 670 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII A33.10)) в виде а = +*с2 га Е+\е\ Вернемся к выражению A33.4) волновой функции связанного состояния во «внешней» области и свяжем нормировочный ко- эффициент в ней с введенными выше параметрами. Определив вычет функции A33.9) в ее полюсе Е = е и сравнив с формулой A28.11), найдем Л = — - -• A33.13) Al 2х 2 V ; Второй член представляет собой малую поправку к первому, поскольку хго rsj ха <С 1. Без этой поправки Aq = 2х, т. е. , A33.14) г что соответствует такой нормировке, как если бы выражение A33.14) было справедливым во всем пространстве. Остановимся кратко на резонансе в рассеянии с не равными нулю орбитальными моментами. Разложение функции gi(k) начинается с члена ^ к~21] сохра- нив два первых члена разложения, напишем парциальную ам- плитуду рассеяния в виде где Ъ и е — две постоянные, причем Ъ > 0 (см. ниже). Резонансно- му случаю соответствует аномально малое значение коэффици- ента при Е~\ т. е. аномально малое е. Однако, ввиду малости Е, член ЪеЕ все же может быть и велик по сравнению с к. Если е < 0, то знаменатель выражения A33.15) имеет ве- щественный корень Е ~ — |в|, так что е есть дискретный уро- вень энергии (с моментом ZI). Однако в противоположность резонансу в s-рассеянии амплитуда A33.15) при этом нигде не становится большой по сравнению с а; амплитуда резонансного рассеяния с моментом 1 + 1 оказывается лишь того же порядка величины, что и амплитуда нерезонансного рассеяния с момен- том /. 1) При е < 0 и Е, близком к |е|, имеем f,K(-l)l+1\e\l/[b(E Сравнение с A28.17) показывает, что Ъ > 0. § 133 РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 671 Если же е > 0, то амплитуда A33.15) достигает в обла- сти Е rsj ? порядка величины 1//с, т.е. становится большой по сравнению с а. Относительная ширина этой области мала: АЕ/е rsj (afcJ . Таким образом, в этом случае имеет место резко выраженный резонанс. Такая картина резонансного рас- сеяния связана с тем, что положительный уровень с / ф 0 хотя и не является истинным дискретным уровнем, но представляет собой квазидискретный уровень: благодаря наличию центро- бежного потенциального барьера вероятность ухода частицы с малой энергией из этого состояния на бесконечность мала, так что «продолжительность жизни» состояния велика (см. §134). В этом заключается причина отличия характера резонансного рассеяния при / ф 0 от резонанса в s-состоянии, где центробеж- ный барьер отсутствует. Знаменатель в A33.15) при е > 0 обращается в нуль при Е = Яо - гГ/2, где Е0ъе, г = 2л/2^е/+1/2> A33.16) on Этот полюс амплитуды рассеяния находится, однако, на «нефи- зическом» листе. Малая величина Г является шириной квази- дискретного уровня (см. § 134). Наконец, укажем интересное свойство фаз 5/, которое легко установить на основании изложенных выше результатов. Будем рассматривать фазы 5i(E) как непрерывные функции энергии, не приводя их к интервалу между 0 и тг (ср. примеч. на с. 144). Покажем, что тогда имеет место равенство 61(р)-61(оо)=п1тг, A33.17) где щ — число дискретных уровней с моментом / в поле притя- жения U® (N. Levinson, 1949). Для этого заметим, что в поле, удовлетворяющем условию \U\ <С fi2/та2, при всех энергиях применимо борновское при- ближение, так что 5i(E) <С 1 при всех Е. При этом Si (ос) = О, поскольку при Е —>• ос амплитуда рассеяния стремится к ну- лю; значение же 5/@) = 0 в соответствии с общими результа- тами § 132. В то же время в таком поле отсутствуют дискрет- ные уровни (см. §45), так что щ = 0. Будем теперь следить за изменением разности Ь\(А) — 5/(ос) (где А—некоторая задан- ная малая величина) при постепенном углублении потенциаль- ной ямы U(г). По мере углубления у верхнего края ямы после- довательно появляются первый, второй и т. д. уровни. При этом 672 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII фаза 5i(А) получает каждый раз приращение на тг1). Достиг- нув заданного U(г) и устремив затем А —>• 0, мы и получим формулу A33.17).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Резонансное рассеяние при малых энергиях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
