Если потенциальная энергия не мала по сравнению с И2 /то? (где а, как обычно, радиус действия поля), то возможна ситуа- ция, когда энергия рассеиваемых частиц настолько велика, что |[/|<?~^(Н2, A31.1) TYICL но в то же время еще \U\>M A31-2) \\Mi та а при этом подразумевается, разумеется, что &а> 1. A31.3) В таком случае мы имеем дело с рассеянием быстрых частиц, к которому, однако, неприменимо борновское приближение (не выполняется ни одно из условий A26.1), A26.2)). ) Этот результат легко получить, конечно, и без перехода к импульсному представлению: тот факт, что формула второго приближения отличается от формулы первого приближения заменой U(k.f — k) на выражение в фигурных скобках в A30.13), очевиден из сравнения формул D3.1) и D3.6). 650 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Для исследования этого случая можно воспользоваться вы- ражением волновой функции в виде D5.9) -^- Г UdzY A31.4) для применимости которого энергия должна удовлетворять только условию \U\ <^ E. В § 45 было отмечено, что это выражение справедливо лишь при z <С ка2] поэтому оно не может быть непосредственно про- должено до таких расстояний, где уже справедливо асимптоти- ческое выражение A23.3). В этом, однако, нет необходимости: для вычисления амплитуды рассеяния достаточно знать волно- вую функцию на расстояниях z таких, что а <С z <С fca2; при этом интеграл в показателе в F® может быть распространен до ос: ф = eikzS(p), A31.5) где введено обозначение оо 5(р) = ехр[2г%)], <5(р) = -JL J Udz A31.6) — оо (р — радиус-вектор в плоскости ху). Рассеяние быстрых частиц происходит в основном на малые углы, которые мы и будем рассматривать. При этом изменение импульса Нц относительно мало (q <С fc), и потому вектор q можно считать перпендикулярным к волновому вектору падаю- щей частицы к, т. е. лежащим в плоскости ху. Рассеянная волна получается вычитанием из A31.5) падающей волны elkz (функ- ция A31.4) при z = —ос). Амплитуда же рассеяния с волновым вектором к' = к + q пропорциональна соответствующей компо- ненте Фурье рассеянной волны1) со J[S(p) - [dp = dxdy). Коэффициент пропорциональности в этом выра- жении можно получить затем сравнением с предельным случаем борновского приближения (см. ниже). ) Такой способ определения амплитуды рассеяния аналогичен методу, применяемому при рассмотрении дифракции Фраунгофера (см. II, § 61). За- метим, что именно дифракционные эффекты нарушают применимость фор- мулы A31.4) при z > ко?. § 131 РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 651 Молено провести вычисление также и другим способом, ко- торый сразу приводит к вполне определенному выражению. Для этого воспользуемся формулой A29.2), подставив в нее ф из A31.4). Заметив при этом, что, согласно D5.8), получим для амплитуды рассеяния (коэффициент при е ° -F(z = -oo)]e~icipdxdy. Подставив выражение для F, окончательно получим1) A31.7) Если энергия настолько велика, что S ~ \U\a/Hv < 1, то применимо борновское приближение. Действительно, разложив S — 1 « 2г5, получим из A31.7) в согласии с A26.4) Воспользовавшись оптической теоремой A25.9), можно по- лучить из A31.7) полное сечение рассеяния. Амплитуда рассея- ния на нулевой угол есть значение / при q = 0. Поэтому находим о= / 2Re(l- S)d2p= f Asm2 5(p)d2p. A31.8) Выражение под знаком интеграла можно рассматривать как се- чение рассеяния для частиц с прицельным расстоянием в интер- вале d2p2). г) В двумерном случае амплитуда рассеяния в поле U(x,z), определенная как в задаче к § 123, дается формулой Величина \f\2dip есть сечение рассеяния, отнесенное к единице длины вдоль оси у, а (р — угол рассеяния в плоскости xz (ср. выражение для борновской амплитуды в задаче 6 § 126). 2) В § 152 будет дано обобщение формул A31.7), A31.8) на случай рассея- ния на системе частиц. 652 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Формула A31.7) не предполагает центральной симметрии по- ля. Поучительно увидеть, каким образом для центрально-сим- метричного поля эта формула может быть получена непосред- ственно из точной общей формулы A23.11). В условиях A31.1)—A31.3) основную роль в рассеянии играют парциальные амплитуды с большими моментами /. Поэтому для волновых функций выполняется условие квазиклассичности, что позволяет воспользоваться для Si формулой A24.1). Поло- жив в ней го ~ 1/к, г2 = z2 + I2 /к2, получим что совпадает со значением функции 5(р) A31.6) при р = 1/к1). Далее, в области малых углов (fl < 1) полиномы Лежандра с большими / могут быть представлены в виде D9.6) 2тг JO@Z) = — [ 2тг J Подставив это выражение в формулу A23.11) и перейдя в ней от суммирования (по большим I) к интегрированию, получим 2тг / = 111 fie-mcosipdcp -ldl = ^J fie-*»<PPj A31.9) где q и р —двумерные векторы с абсолютными величинами q = = кв, р = 1/к. Наконец, подставив сюда // в виде A23.15) с Si = S(l/k), мы вернемся к формуле A31.7). ) Квазиклассическая функция 2Н5(р) представляет собой связанное с по- лем U изменение действия при пролетании частицы вдоль классической тра- ектории. Для быстрой частицы эту траекторию можно считать прямолиней- ной, и тогда 26(р) совпадает с разностью классических интегралов действия J V n2 J n2k J Udz. В этом смысле функция 26(р) играет здесь роль, аналогичную роли эйкона- ла в геометрической оптике. В связи с этим рассматриваемое приближение в теории рассеяния часто называют эйкональным. Подчеркнем, однако, что амплитуда рассеяния отнюдь не сводится к своему квазиклассическому вы- ражению, поскольку не выполняются, вообще говоря, условия 01 ^> 1, 6i ^> 1. § 131 РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 653 Отметим также, что для рассеяния в центрально-симметрич- ном поле формула A31.7), после проведения в ней интегрирова- ния по полярному углу ср в плоскости ху (d2p = р dp dcp), прини- мает вид / = -ik f{exp[2id(p)} - l}J0(qp)pdp. A31.10) В § 126 уже было указано, что борновское приближение не- применимо при рассеянии быстрых частиц на большие углы, если сечение при этом оказывается экспоненциально малым. Непригодна в этих условиях также и изложенная здесь методика. В действительности мы имеем в таких случаях дело с квазиклас- сической ситуацией, к которой теория возмущений неприменима. В соответствии с общими правилами квазиклассического приближения (ср. § 52,53) показатель степени в экспоненци- альном законе убывания сечений рассеяния можно определить путем рассмотрения «комплексных траекторий» в классически недоступной области движениях). В классической задаче о рассеянии зависимость между уг- лом в отклонения частицы в поле С/(г) и прицельным параме- тром р определяется формулой = / , Pd\ , A31.11) 7Г±( где го — минимальное расстояние от центра, являющееся корнем уравнения 1-^-| = 0 (Ш.12) (см. A27.5)). Интересующий нас случай соответствует области углов, на которые классическая частица не могла бы отклонить- ся2). Этим углам отвечают поэтому комплексные решения рF) уравнения A31.11) (с соответственно комплексными значения- ми го). По найденной таким образом функции р(в) и класси- ческому орбитальному моменту частицы mvp вычисляется дей- ствие = mv Г p(9)d9 A31.13) 1) Исследование вопроса о предэкспоненциальном множителе в этом законе— см. А. 3. Паташинский, В.Л.Покровский, И. М. Халатников/ / ЖЭТФ. 1963. Т. 45. С. 989. 2) Излагаемый метод применим не только при больших Е, но вообще во всех случаях экспоненциально малого рассеяния. 654 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII (где v — скорость частицы на бесконечности). Амплитуда же рассеяния /~exp(-±ImS@)). A31.14) Уравнение A31.12) имеет, вообще говоря, более чем один ком- плексный корень. В качестве г о в A31.11) должен быть взят тот из них, который приводит к наименьшей по величине поло- жительной мнимой части Im S. Кроме того, если функция U® обладает комплексными особыми точками, то они тоже должны входить в число конкурирующих значений г о 1). Основную роль в интеграле A31.11) играет область г ^ го- При этом в случае больших энергии Е член U/E под знаком корня может быть опущен; произведя интегрирование, получим тогда р = го cos -. A31.15) Если го есть особая точка функции /7(г), она зависит лишь от свойств поля, но не от р или Е. Вычисляя 5, согласно A31.13), найдем, что амплитуда рассеяния в этом случае - / 2mv . в т \ /1О1 1Л\ / ^ ехр( sin - Im го ). A31.16) V h 2 / Если же в качестве го приходится взять корень уравнения A31.12), то вид экспоненты зависит от конкретных свойств поля. Так, для функции U = Uoe~^r'a> (не имеющей вовсе особых точек на конечных расстояниях) из уравнения U л р2 . 2 О — = 1 — Ч: « SHI - Е г2 2 имеем го « 1 — sin2 -V A31.17) Uо 2 / Ввиду слабости зависимости от в го можно считать постоянным при интегрировании в A31.13) и для амплитуды рассеяния мы получим формулу A31.16) с го из A31.17).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние при больших энергиях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
