В понятии об амплитуде рассеяния фигурируют только на- правления начального и конечного импульсов рассеиваемой ча- стицы. Естественно поэтому, что к этому понятию можно 646 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII прийти и при формулировке задачи о рассеянии в импульсном представлении, где вопрос о пространственном распределении всей картины процесса вообще не ставится. Покажем, как это делается. Прежде всего преобразуем к импульсному представлению ис- ходное уравнение Шредингера -^AV® + [[/(г) - Щф(г) = 0, A30.1) перейдя от координатных волновых функций к импульсным, т. е. к фурье-компонентам a(q)= Г ф(г)е-^ЧУ. A30.2) Обратно |^^ A30.3) Умножим уравнение A30.1) на е~щг и проинтегрируем его по dV. В первом члене после двукратного интегрирования по частям получим Г e~ic*rA^®dV = f\p®Ae-ic*rdV = -q2a(q). Во втором члене, подставив в него ф(г) в виде A30.3), получим где U(q) — фурье-компонента поля U{rI)\ [/(q)= Г U®e-ic*rdV. Таким образом, уравнение Шредингера в импульсном представ- лении принимает вид I ^ = 0- A30.4) 1) Для удобства обозначений пишем q в виде аргумента фурье-компоненты вместо индекса. § 130 АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ В ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 647 Обратим внимание на то, что это уравнение — интегральное, а не дифференциальное. Представим волновую функцию, описывающую рассеяние частиц с импульсом Як, в виде ^к(г) = eikr + хк(г), A30.5) где Хк(г) — функция, имеющая асимптотически (при г —>• ос) вид расходящейся сферической волны. Ее фурье-компонента ak(q) = B7rK5(q - k) + Xk(q), A30.6) и подстановка в A30.4) приводит к следующему уравнению для функции Xk(qI): ir(k2 ~ <?2)Xk(q) = C/(q - к) + / U(q - q')Xk(q'O^- A30.7) Aim J (Лтт) Это уравнение целесообразно преобразовать, введя вместо Xk(q) ДРУГУЮ неизвестную функцию, согласно определению, A30.8) q2-k2- Тем самым устраняется особенность при q2 = к2 в коэффициен- тах уравнения A30.7) и оно принимает вид - к) - *± [ ^(д-д#)^(к»д#) A' Член г0 (обозначающий предел %8 при 5 —>> +0) введен в опре- деление A30.8) для придания определенного смысла интегралу в A30.9): им устанавливается способ обхода полюса qf2 = к2 (ср. §43). Покажем, что именно такой способ обхода отвечает требуемому асимптотическому виду функции Для этого пишем d?q = q2dqdo4 и производим прежде все- го интегрирование по do^ — по направлениям вектора q относи- тельно г. Интегрирование такого вида уже производилось при г) По свойствам ^-функции произведение (q2 — k2M(q—k), будучи умножено на произвольную функцию /(q) (не имеющую особенности при q = к) и проинтегрировано по d3q, дает нуль. В этом смысле произведение (q2 — k2)x x<J(q-k) =0. 648 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII преобразовании первого члена в A25.2); оно приводит (в обла- сти больших г) к выражению оо .,qn')eiqr -F(k,-qn')e-iqr qdq q2 -к2 - гО BттK О (где п7 = г/г) или оо , ч _ гт f F(k,qn)eiqrqdq XkW " ~2тг2П2г J q2-k2-i0 ' — oo Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках q = = fc + iO и g = —/с — гО, которые обходятся при интегрирова- нии (в плоскости комплексного q) соответственно снизу и сверху (рис. 48 а). Сместим несколько путь интегрирования в верхнюю полуплоскость, заменив его прямой линией, параллельной веще- ственной оси, и замкнутой петлей, охватывающей полюс q = к (рис.48 6). Интеграл по прямой линии обращается при г —>> ос в нуль (ввиду наличия в подынтегральном выражении множителя ехр(—rim g)), а интеграл по замкнутой петле определяется вы- четом подынтегрального выражения в полюсе q = к (умножен- ным на 2тгг); окончательно находим ,?т') A30.11) (п — единичный вектор в направлении к). Мы получили требуе- мый асимптотический вид волновой функции, причем амплитуда рассеяния ^,kn'). A30.12) Таким образом, амплитуда рассеяния определяется значением при q = к функции i^(k, q), удовлетворяющей интегральному уравнению A30.9). Рис.48 В случае применимости теории возмущений уравнение A30.9) легко решается последовательными итерациями. В пер- вом приближении, опустив интегральный член вовсе, получим § 131 РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 649 .F(k, q) = — C/(q — к). В следующем приближении подставляем в интегральный член выражение i^(k, q) первого приближения; для амплитуды рассеяния A30.12) находим тогда (несколько изменив обозначения переменных) U(kf - k")?/(k" - k) d3k" \ *»-*'*-но w A30.13) причем k = fen, k7 = кто!. Первый член совпадает с формулой A26.4) первого борновского приближения, а второй дает вклад второго приближения в амплитуду рассеяниях). Из A30.13) видно упомянутое уже в §126 обстоятельство, что уже во втором приближении амплитуда рассеяния теряет свойство симметрии A26.8). На первый взгляд может показать- ся, что интегральный член в A30.13) тоже симметричен по от- ношению к перестановке начального и конечного состояний. В действительности, однако, такая симметрия отсутствует в свя- зи с тем, что при переходе к комплексно сопряженному выра- жению меняется контур интегрирования (направление обхода полюса).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Амплитуда рассеяния в импульсном представлении» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
