Проследим, каким образом происходит предельный переход от квантовомеханической теории рассеяния к классической. Исключив из рассмотрения равный нулю угол рассеяния #, мы можем написать амплитуду рассеяния, даваемую точной тео- рией, в виде A24.4) )e2i5<. A27.1) Мы знаем, что квазиклассические волновые функции характе- ризуются большой величиной их фазы. Поэтому естественно предположить заранее, что предельному переходу в теории рас- сеяния соответствуют большие фазы #/. Значение суммы A27.1) определяется в основном членами с большими /. Поэтому можно заменить P/(cos#) асимптотическим выражением D9.7), кото- рое напишем в виде Подставив это выражение в A27.1), получим A27.2) Экспоненциальные множители, рассматриваемые как функ- ции от /, являются быстро осциллирующими функциями (по- скольку их фазы велики). В связи с этим большинство членов суммы A27.2) взаимно уничтожаются. Сумма будет в основном определяться областью значений /, близких к тому, при котором показатель одной из экспонент имеет экстремум, т. е. близких к корню уравнения 2^i ±0 = 0. A27.3) dl В этой области имеется большое число членов ряда, для кото- рых экспоненциальные множители сохраняют почти постоянные значения (показатели медленно меняются вблизи точки своего экстремума) и которые поэтому не будут взаимно уничтожаться. § 127 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 631 Фазы Si в квазиклассическом случае могут быть написаны (см. § 124) как предел, к которому стремится при г —>• сю разность фазы тг , 1 С L Г7? П2A + 1/2J го квазиклассической волновой функции в поле U(г) и фазы вол- новой функции свободного движения, равной кг — тг1/2 (см. § 33). Таким образом, \)-kr0. A27.4) го Это выражение надо подставить в уравнение A27.3). При опре- делении производной от интеграла надо помнить, что предел интегрирования г о тоже зависит от /, но получающийся от это- го член kdro/dl сокращается с производной от члена —кг о в 5/. Величина НA + 1/2) есть момент импульса частицы. В класси- ческой механике его можно написать в виде mpv, где р— при- цельное расстояние, a v — скорость частицы на бесконечности. Мы сделаем эту подстановку, после чего уравнение A27.3) примет окончательно вид оо / pdr В поле отталкивания это уравнение имеет корень (для р) лишь при знаке минус перед в в правой части, а в поле притяжения — при знаке плюс. Уравнение A27.5) в точности совпадает с классическим уравнением, определяющим угол рассеяния по прицельному рас- стоянию (см. I, § 18). Легко убедиться и в том, что и для сечения действительно получается классическое выражение. Для этого разложим показатель экспоненты в A27.2) по сте- пеням V = / — /о@)? гДе 'о@) определяется уравнениями A27.3)- A27.5). Будем для определенности рассматривать первый член в A27.2) и соответственно принимаем нижний знак в A27.3) (случай отталкивания). Заметив, что, согласно A27.3), dV l=ln 2 din 632 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII имеем Суммирование по / в A27.2) заменяем теперь интегрировани- ем по dl1 вблизи точки V = 0. Рассматривая при этом V как комплексную переменную, направим путь интегрирования вбли- зи указанной точки вдоль направления наиболее крутого спада показателя экспоненты, т. е. под углом тг/4 или —тг/4 к веще- ственной оси, в зависимости от знака d6/dl$. Другими слова- ми, полагаем V = ? ехр(±гтг/4) и интегрируем по вещественным значениям ?; ввиду быстрой сходимости интеграла его можно распространить от —ос до ос: оо 1/2 —оо В результате получим Отсюда = |/B . 2„8ш0(Ю = 2тг^ ^ М, A27.7) к аи и после введения прицельного расстояния, согласно р = lo/к, мы приходим к классической формуле da = 2тгр dp. Таким образом, условие классичности рассеяния при задан- ном угле в заключается в том, чтобы было велико значение /, при котором имеет место A27.3), и чтобы было велико также и Si при этом значении I1). Это условие имеет простой смысл. Для того чтобы можно было говорить о классическом рассеянии на угол в при про летании частицы на прицельном расстоянии р, необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности в значениях того и другого были относительно малы: Ар ^С р, Д# ^С в. Неопределенность угла рассеяния имеет порядок вели- чины Д# ~ Ар/р, где р — импульс частицы, а Ар — неопределен- ность его поперечной составляющей. Так как Ар ^ Н/Ар ^ х) Связь вир (даваемая формулой A27.5)) может оказаться неоднознач- ной; тогда одному и тому же значению в отвечают более чем одно значение р. В таком случае амплитуда f@) дается суммой выражений A27.6) с со- ответствующими значениями /о- В точках экстремума функции в(р), про- изводная dp/d6, а с нею и классическое дифференциальное сечение dcr/do обращаются в бесконечность; вблизи этого угла классическое приближение, конечно, недостаточно (см. задачу 2). § 127 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 633 то А6 ^> Н/рр, а потому во всяком случае и (9>—. A27.8) pmv Заменяя момент импульса mpv на Ш, получим 61 ^ 1, что сов- падает с условием 5/ ^> 1 (так как Si ~ 16, как это видно из A27.3)). Классический угол отклонения частицы можно оценить как отношение поперечного приращения импульса Ар за «время столкновения» г ~ p/v к первоначальному импульсу mv. Си- ла, действующая в поле U(г) на частицу на расстоянии р, есть F = —dU(p)/dp, поэтому Ар ~ Fp/v, так что # ^ pF/mv2. Эта оценка справедлива строго лишь, если угол 6 <С 1, но по порядку величины ее можно продлить и до б ~ 1. Подставив это выра- жение в A27.8), получим условие квазиклассичности рассеяния в виде \F\p2 > Hv. A27.9) Это неравенство должно выполняться для всех значений р, при которых еще |С/(р)| < Е. Если поле U® убывает быстрее, чем 1/г, то условие A27.9) во всяком случае перестает выполняться при достаточно боль- ших р. Но большим р соответствуют малые 6\ таким образом, рассеяние на достаточно малые углы во всяком случае не бу- дет классическим. Если же поле спадает медленнее, чем 1/г, то рассеяние на малые углы будет классическим; будет ли в этом случае классическим рассеяние на большие углы, зависит от ха- рактера хода поля на малых расстояниях. Для кулонова поля U = а/г условие A27.9) выполняется, ес- ли а ^ Hv. Это условие обратно тому, которое позволяет рассма- тривать кулоново поле как возмущение. Мы увидим, впрочем, что по случайным причинам квантовая теория рассеяния в ку- лоновом поле приводит к результату, совпадающему с классиче- ским во всех случаях.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квазиклассический случай» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
