В настоящее время еще не существует законченной теории так называемых ядерных сил — сил, действующих между ядер- ными частицами (нуклонами) и удерживающих их вместе в со- ставе атомного ядра. В связи с этим при описании ядерных сил приходится пока в значительно большей степени апеллировать к опыту, чем это было бы необходимо при наличии последова- тельной теории. Два относящихся к нуклонам типа частиц отличаются, преж- де всего, своими электрическими свойствами, поскольку прото- ны (р) имеют положительный заряд, а нейтроны (п) электриче- ски нейтральны. В то же время те и другие имеют одинаковый спин 1/2, а их массы почти равны (масса протона составляет 1836,1, нейтрона—1838,6 электронных масс). Это сходство ока- зывается не случайным. Несмотря на различие в электрических свойствах, протон и нейтрон являются частицами, очень похо- жими друг на друга, и это сходство имеет фундаментальное значение. Оказывается, что если отвлечься от относительно слабых электрических сил, то силы взаимодействия двух протонов очень похожи на силы, действующие между двумя нейтронами. Это свойство называют зарядовой симметрией ядерных сил1). С точностью до соблюдения этой симметрии можно, в част- ности, утверждать, что системы двух протонов (рр) и двух нейтронов (пп) обладают одинаковыми по своим свойствам со- стояниями. При этом, разумеется, существенно, что как про- тоны, так и нейтроны подчиняются одинаковой статистике (статистике Ферми), и потому для систем рр и пп допустимы лишь состояния с одинаковой симметрией волновых функций ф(г 1, ах; Г2,сг2)— антисимметричные по отношению к одновре- менной перестановке координат и спинов частиц. х) Оно проявляется, в частности, в близости свойств (энергии связи, энер- гетического спектра и т.п.) так называемых зеркальных ядер, т.е. ядер, отличающихся друг от друга заменой всех протонов нейтронами и наобо- рот. § 116 ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 573 Зарядовая симметрия оказывается, однако, лишь одним из проявлений еще более глубокого физического сходства между протоном и нейтроном, получившим название изотопической инвариантности1). Эта более глубокая закономерность приво- дит к существованию аналогии не только между системами рр и пп (получающимися друг из друга заменой всех протонов на нейтроны и наоборот), но и системой рп, состоящей из различ- ных частиц. Разумеется, полной аналогии здесь вообще не может быть, поскольку возможные состояния системы рп, как состоя- щей из нетождественных частиц, во всяком случае не должны ограничиваться состояниями с антисимметричными волновы- ми функциями. Оказывается, однако, что среди возможных со- стояний системы рп имеются состояния, с большой точностью совпадающие по своим свойствам с состояниями систем двух одинаковых нуклонов2); эти состояния описываются, естествен- но, антисимметричными волновыми функциями (остальные же состояния системы рп описываются симметричными волновыми функциями и отсутствуют у систем рр и пп). Изотопическая инвариантность, как и зарядовая симметрия, справедлива лишь при условии пренебрежения электромагнит- ным взаимодействием. Другим источником ее приближенности является отличие, хотя и небольшое, в массах нейтрона и про- тона; точное соблюдение симметрии между нейтронами и про- тонами подразумевало бы, разумеется, точное совпадение их масс3). Для описания изотопической инвариантности можно ввести удобный формальный аппарат. Мы перейдем к нему естествен- ным образом, если заметим, что изотопическая инвариантность сводится к установлению возможности классифицировать со- стояния системы нуклонов по симметрии ее координатно-спино- вых волновых функций ф, вне зависимости от того, к какому из двух типов относятся нуклоны. Поэтому искомый аппарат должен дать возможность ввести для характеристики состояний системы новое квантовое число, задание которого однозначно определяло бы симметрию функций ф. Но с аналогичной ситуа- цией мы уже имели дело в связи со свойствами системы частиц со спином 1/2. Именно, мы видели (см. §63), что задание пол- ного спина S такой системы однозначно определяет симметрию 1) В литературе для этой инвариантности используется также название изобарической. 2) Это было показано на основе анализа экспериментальных данные о рас- сеянии нейтронов и протонов на протонах Брейтом, Кондоном и Презентом (О. Brett, E. U. Condon, R. В. Present, 1936). 3) Надо думать, что в действительности эта разница в массах нейтрона и протона тоже имеет электромагнитное происхождение. 574 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА ее координатной волновой функции (/?, вне зависимости от того, какие из двух возможных значений (±1/2) имеют проекции а спинов каждой из частиц. Естественно поэтому, что для формального описания изото- пической инвариантности надо рассматривать нейтрон и про- тон как два различных зарядовых состояния одной и той же частицы (нуклона), отличающихся значением проекции ново- го вектора т, по своим формальным свойствам аналогичного вектору спина 1/2. Эта новая величина, которую принято назы- вать изотопическим спином (или просто изоспиномI), явля- ется вектором в некотором вспомогательном «изотопическом пространстве» ?г]^ (не имеющем, разумеется, ничего общего с реальным пространством). Проекция изотопического спина нуклона на ось ? может иметь лишь два значения т^ = ±1/2. Значение ±1/2 условно при- писывается протону, а значение —1/2—нейтрону2). Изоспины нескольких нуклонов складываются в полный изоспин системы по правилам сложения обычных спинов. При этом ("-компонента полного изоспина системы равна сумме значений т^ всех соста- вляющих ее частиц. Для ядра с числом протонов (т. е. атомным номером) Z, числом нейтронов N и массовым числом А = Z + N имеем т. е. Т^ определяет, при заданном числе нуклонов, полный за- ряд системы. Ясно поэтому, что имеет место строгое сохранение величины Т^, выражающее собой просто сохранение заряда. Абсолютная же величина полного изотопического спина си- стемы Т определяет симметрию «зарядовой части» ио волновой функции системы, подобно тому, как полный спин S опреде- ляет симметрию спиновой волновой функции. Тем самым она определяет и симметрию координатно-спиновой (т. е. обычной) волновой функции ф, поскольку полная волновая функция си- стемы нуклонов (т. е. произведение фи) должна иметь определен- ную симметрию: как и для всяких фермионов, она должна быть антисимметричной по отношению к одновременной перестанов- ке координат, спинов и «зарядовых переменных» т^ частиц. По- этому наличие определенной симметрии у волновых функций ф х) Она была введена Гейзенбергом A932) и применена к описанию изото- пической инвариантности Кассеном и Кондоном (В. Cassen, E. U. Condon, 1936). 2) В литературе используется также и обратное определение. § 116 ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 575 любой системы нуклонов как раз и выражается в излагаемой схеме сохранением величины Т. Можно также сказать, другими словами, что изотопическая инвариантность означает инвариантность свойств системы от- носительно любых поворотов в изотопическом пространстве. Состояния, отличающиеся лишь значением Т^ (при заданных значениях Г и остальных квантовых чисел), одинаковы по сво- им свойствам. В частности, зарядовая симметрия — инвариант- ность свойств системы относительно замены всех нейтронов протонами и наоборот, — являющаяся частным случаем изо- топической инвариантности, описывается при этом как ин- вариантность относительно одновременного изменения знака всех Tf, т.е. относительно поворота в изопространстве на угол 180° вокруг оси, лежащей в плоскости ?г). Отметим также, что очевидное нарушение изотопической инвариантности кулоновым взаимодействием видно в рассма- триваемой схеме и формально: кулоново взаимодействие зави- сит от заряда, т. е. от (^-компонент изоспина, не инвариантных относительно поворотов в пространстве ?г)?. Рассмотрим, например, систему из двух нуклонов. Ее пол- ный изотопический спин может иметь значения Т = 1 и Г = 0. Для Т = 1 возможны значения проекции Т^ = 1,0,-1. Этим значениям соответствуют, согласно A16.1), значения заряда 2, 1, 0, т.е. система с Т = 1 может быть реализована как рр, рп и пп. Зарядовая часть волновой функции ш с Т = 1 является симметричной (подобно тому, как значению спина S = 1 соот- ветствует симметричная спиновая функция, ср. §62). Поэтому значению Г = 1 соответствуют состояния с антисимметричны- ми обычными волновыми функциями ip. Для Т = 0 возможно лишь Т^ = 0 и соответствующая функция ш антисимметрична; сюда относятся, следовательно, состояния системы рп с симме- тричными волновыми функциями ip. Изотопическому спину отвечает оператор % действующий на зарядовую переменную т^ в волновой функции, подобно тому, как оператор спина is действует на спиновую переменную а. Вви- ду полной формальной аналогии между тем и другим, опера- торы т?, т^, т? выражаются теми же матрицами Паули E5.7), что и операторы ?ж, Sy, ^sz. Отметим здесь некоторые комбинации этих операторов, имеющие простой наглядный смысл. Сумма /0 1 Т+ = + { есть оператор, который при воздействии на нейтронную 576 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА волновую функцию превращает ее в протонную, а при воздей- ствии на протонную функцию обращает ее в нуль. Аналогично, оператор /О 0\ превращает протон в нейтрон и уничтожает нейтрон. Наконец, оператор о) оставляет неизменной протонную функцию и уничтожает ней- трон; его можно назвать оператором заряда нуклона (в едини- цах е). Покажем еще, каким образом может быть выражен через операторы xi, T2 изоспинов двух частиц оператор Р переста- новки этих частиц друг с другом. По определению последне- го, результат его воздействия на волновую функцию системы двух частиц ^(ГЪ сп; Г2, &2) заключается в перестановке коорди- нат и спинов этих частиц, т.е. в перестановке переменных ri, а\ и Г2, о- Собственные значения этого оператора равны ±1 и осу- ществляются при воздействии на симметричную или антисимме- тричную функции ф: Рфспм = ^сим, ^анти = -^анти- A16.2) Мы видели выше, что функциям ^сим и ^анти соответствуют зарядовые функции иот со значениями полного изоспина Т = О и Г = 1. Поэтому если мы хотим представить оператор Р в форме, в которой он действует на зарядовые переменные, то он должен обладать свойствами Pujo = cjo, Рш\ = —ио\. A16.3) Этим условиям удовлетворяет оператор 1 — Т2, в чем легко убедиться, заметив, что иот есть собственная функция опера- тора Т2, соответствующая собственному значению Т[Т + 1). Наконец, написав Т = %\ + %2 и учитывая, что т2 и т| имеют одинаковые определенные значения т(т + 1) = 3/4, найдем иско- мое окончательное выражение1) Р = 1 - Т2 = -- - 2xiT2. A16.4) х) С оператором такого вида, составленным из обычных спинов частиц, мы уже встречались в задачах к §62. § 117 ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 577 Для матричных элементов различных физических величин системы нуклонов существуют определенные правила отбора по изотопическому спину (L. A. Radicati, 1952). Пусть F— ка- кая-либо величина (любого тензорного характера), обладаю- щая свойством аддитивности в том смысле, что ее значение для системы равно сумме значений для отдельных нуклонов. Пред- ставим оператор такой величины в виде где суммирования производятся по всем протонам и нейтронам в системе. Это выражение можно тождественно переписать в виде где суммирование в каждом члене производится по всем нук- лонам (как протонам, так и нейтронам). Первый член в A16.5) есть скаляр, а второй — (^-компонента вектора в изопространстве. К ним относятся поэтому те же правила отбора по изотопиче- скому спину, которые имеют место для скаляров и векторов в обычном пространстве по орбитальному моменту (см. §29). Изотопический скаляр допускает лишь переходы без измене- ния Г; (^-компонента же изотопического вектора имеет матрич- ные элементы лишь для переходов с изменением ДГ = 0, ±1, причем дополнительно запрещены переходы с АГ = 0 между состояниями с Т^ = 0, т. е. для систем с одинаковым числом нейтронов и протонов (последнее правило следует из того, что матричный элемент перехода с АГ = 0 пропорционален Г^ — см. B9.7)). Так, для дипольного момента ядра роль величин fp играют произведения er, a fn = 0. Первый член в A16.5) есть тогда e г = — > mr, т. е. пропорционален радиусу-вектору центра инерции и может быть обращен в нуль надлежащим выбором начала координат; другими словами, дипольный момент ядра сводится к ("-компо- ненте изотопического вектора.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Изотопическая инвариантность» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
