Определим уровни энергии частицы в постоянном однород- ном магнитном поле (Л. Д. Ландау, 1930). Векторный потенциал однородного поля удобно выбрать здесь не в виде A11.7), а в следующей форме: Ах = -Ну, Ay = Az = 0 A12.1) (ось z выбрана в направлении поля). Тогда гамильтониан при- обретает вид Н = J- ($х + *L У ft_ + К _ Я^Нш (П2.2) 2т Vх с У) 2т 2т s Z V ; Прежде всего замечаем, что оператор *sz коммутативен с га- мильтонианом (поскольку последний не содержит операторов других компонент спина). Это значит, что ^-проекция спина сохраняется и потому ^sz можно заменить собственным значени- ем sz = а. После этого спиновая зависимость волновой функции становится несущественной и ф в уравнении Шредингера мож- но понимать как обычную координатную функцию. Для этой функции имеем уравнение ] = Еф. A12.3) Гамильтониан этого уравнения не содержит явно координат х и z. Поэтому с ним коммутативны также и операторы рх и pz (дифференцирования по ж и z), т.е. х- и ^-компоненты обоб- щенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем ф в виде Ф = ехр^(ржж + pzz)\x(y)- A12.4) Собственные значения рх и pz пробегают все значения от —ос до ос. Поскольку Az = 0, то ^-компонента обобщенного им- пульса совпадает с компонентой обычного импульса mvz. Та- ким образом, скорость частицы в направлении поля может иметь произвольное значение; можно сказать, что движение вдоль по- ля «не квантуется». Подставив A12.4) в A12.3), получим следующее уравнение для функции х(у)' § 112 ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 555 где введены обозначения у$ = —срх/еН и !^. A12.6) тс Уравнение A12.5) по форме совпадает с уравнением Шредин- гера B3.6) для линейного осциллятора, колеблющегося с часто- той ион- Поэтому мы можем сразу заключить, что выражение в круглых скобках в A12.5), играющее роль энергии осциллятора, может принимать значения (п + 1/2)Пин-, гДе ^ = 0,1, 2,... Таким образом, получаем следующее выражение для уровней энергии частицы в однородном магнитном поле: Е= (п+-)Пин + — - —Н. A12.7) V 2/ 2га s v } Первый член в этом выражении дает дискретные значения энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикуляр- ной к полю; их называют уровнями Ландау. Для электрона fi/s = — \е\Н/тс, и формула A12.7) принимает вид Е= (п+- + а) Пин + — • A12.8) V 2 У 2га v J Собственные функции Хп{у), отвечающие уровням энер- гии A12.7), даются формулой B3.12) с соответствующим из- менением обозначений В классической механике движение частиц в плоскости, пер- пендикулярной к полю Н (плоскость ху), происходит по окруж- ности с неподвижным центром. Сохраняющаяся в квантовом случае величина уо соответствует классической у-координате центра окружности. Наряду с ней сохраняется также величи- на хо = (сру/еН) + х (легко убедиться в том, что ее оператор коммутативен с гамильтонианом A12.2)). Эта величина соот- ветствует классической ж-координате центра окружности1). ) Действительно, для классического движения по окружности радиуса cmvt/eH (vt — проекция скорости на плоскость ху, см. II, §21) имеем уо = -срх/еН = -(cm/eH)vx + у. Из этого выражения очевидно, что у есть координата центра окружности. Другой координатой будет хо = (cm/eH)vy + х = сру/еН + х. 556 ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. XV Однако операторы хо и у$ не коммутативны друг с другом, так что координаты xq и у$ не могут иметь одновременно опре- деленных значений. Поскольку A12.7) не содержит величины рж, пробегающей непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непре- рывной кратностью. Кратность вырождения, однако, становится конечной, если движение в плоскости ху ограничено большой, но конечной площадью S = LxLy. Число различных (теперь дискретных) значений рх в интервале Арх равно (Ьх/2тгН)Арх. Допустимы все значения рх, для которых центр орбиты нахо- дится внутри S (мы пренебрегаем радиусом орбиты по сравне- нию с большим Ly). Из условий 0 < у$ < Ly имеем Арх = = eHLy/c. Следовательно, число состояний (для заданных п и pz) есть eHS/27rHc. Если область движения ограничена так- же и вдоль оси z (длиной Lz\ то число возможных значений pz в интервале Apz есть (Lz/27rh)Apz и число состояний в этом интервале есть ^^ ^P^ A12.10) APz P Для электрона имеет место еще дополнительное вырождение: уровни энергии A12.8) совпадают для состояний с квантовыми числами п, а = 1/2 и п + 1, а = —1/2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в однородном магнитном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
