Матричные элементы для аксиально-симметричных систем
Основой для вычисления матричных элементов величин, ха- рактеризующих системы типа симметричного волчка, служит выражение интеграла от произведения трех D-функций. Для вывода этой формулы вернемся к разложению A06.11) ^m, m = m1+m2 и преобразуем обе части равенства конечным поворотом системы координат. Каждая из ^-функций преобразуется согласно E8.7), так что получим Выразив теперь функции ^jm' в правой части равенства в виде разложения A06.9) и сравнив коэффициенты при одинаковых произведениях ^jimu fem2 5 получим соотношения з A10.1) (причем т = Ш1+Ш2, т! = т^+т^ а ш обозначает совокупность трех эйлеровых углов а, /3, j. Выраженная через З^'-символы, эта формула принимает вид 3 x ' — m2 -7 (здесь использовано также свойство D-функций E8.19)). §110 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ 547 Умножив равенство A10.2) с обеих сторон на D_m, _т(ш) и проинтегрировав его по duo с помощью соотношения ортого- нальности E8.20), получим Л h h \ ( л h h (для большей симметрии здесь произведено очевидное изменение обозначений индексов). Это и есть искомая формула1). Пусть fkqr — сферический тензор ранга fc, характеризую- щий волчок в связанных с ним координатных осях x'y'z' = ?77^ (ось Q — по оси волчка); это может быть, например, тензор муль- типольного электрического или магнитного момента. Пусть fkq — компоненты того же тензора относительно неподвижных осей координат xyz. Связь между теми и другими определяется матрицей конечных вращений согласно Волновые функции, описывающие вращение системы как це- лого, отличаются от D-функций лишь нормировкой: A10.5) где j— полный момент системы; га — его проекция на непо- движную ось z\ \i—проекция на ось системы; фазовый мно- житель выбран так, чтобы при целочисленном j и \i = 0 функ- ция A10.5) переходила в собственную функцию свободного мо- мента (ср. A03.8)). Вычисляя по этим функциям матричный эле- мент величины A10.4) с помощью A10.3) (причем комплексно сопряженная D-функция выражается согласно E8.19)), получим 7 к 7 \ / / II/ (Д fb?' Д/ A10.6) q fil I—га q m) XA^ um ^' v } (j'n'm!\fkq\jnm) = i (причем q1 = \J — /i, q = w! — ra). г) При целых значениях j\ = /i, J2 = Ь, J3 = /з и mi = 7П2 = газ = 0 функции i^om сводятся, согласно E8.25), к шаровым функциям, и форму- ла A10.3) дает выражение для интеграла от произведения трех шаровых функций A07.14). 548 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Эта формула решает поставленную задачу. Она определяет зависимость матричных элементов от моментов j, jf и их про- екций m, ml. Что касается зависимости от квантовых чисел /i, //, то она остается, разумеется, неопределенной: значения этих чисел зависят от «внутренних» состояний системы, между кото- рыми берется «внутренний» матричный элемент (//|/fcg/|/i). Зависимость матричных элементов A10.6) от чисел т, т', такая же, как для всякой системы с заданным полным момен- том. Отделив эту зависимость введением приведенных матрич- ных элементов согласно A07.6), получим для последних выра- жение Квадрат модуля матричного элемента A10.6), просуммиро- ванный по всем значениям конечного числа т! (и по q = т! — га) при заданном т, не зависит от значения т и равен, по общему правилу A07.11): qmr <' к _^ ql ^jVl/^HI2- (П0.8) Соотношения эрмитовости A07.9) для приведенных матрич- ных элементов в координатах xyz A10.7), как и следовало, на- ходятся в согласии с соотношениями A07.8) для матричных элементов в координатах Вращение таких аксиально-симметричных систем, как двух- атомная молекула (или аксиальное ядро), описывается всего двумя углами (а = (р, /3 = #), определяющими направление оси системы. Вращательная волновая функция отличается в этом случае от A10.5) отсутствием множителя ег/Х7/л/2тг (ср. примеч. на с. 389). Это изменение, однако, не отражается на матричных элементах: поскольку зависимость ?г^;т(а,/3,7) ОТ 7 сводится §110 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ 549 к множителю егш7, то A10.3) можно переписать в виде (a,f3,0 4тг _ (л h h \ (л h h (где w! = m^ + mf2 + mf3) и результат вычисления интеграла не меняется. При этом правило отбора по проекции момента на ось системы соблюдается в прежнем виде (// — \± = </), возникая (как следствие симметрии молекулы относительно оси () в ре- зультате ортогональности электронных волновых функций. В формулах A10.6), A10.7) под (^Ifkq'lfj) надо понимать теперь матричные элементы по отношению к электронным состояниям при неподвижных ядрах.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Матричные элементы для аксиально-симметричных систем» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
