Мы определили в § 106 З^'-символы как коэффициенты в сум- ме A06.4), представляющей собой волновую функцию системы трех частиц с равным нулю полным моментом. С точки зрения трансформационных свойств по отношению к вращениям эта сумма является скаляром. Отсюда следует, что набор 3j-симво- лов с заданными значениями ji, j'2, js (и всеми возможными mi, Ш2, тз) можно рассматривать как совокупность величин, пре- образующихся при вращениях по закону, контраградиентно- му закону преобразования произведений ф^1ГП1гфф чтобы обеспечить инвариантность всей суммы. В связи с такой точкой зрения можно поставить вопрос о построении скаляра, составленного из одних только 3j-chmbo- лов. Такой скаляр должен зависеть только от чисел j, но не от § 108 б^'-символы 537 чисел m, меняющихся при вращениях. Другими словами, он дол- жен выражаться в виде сумм по всем числам т. Каждое такое суммирование состоит в «упрощении» произведения двух 3j-chm- волов по правилу (i.) (i) (ср. способ составления скаляра A06.2)). Поскольку в каждом «упрощении» фигурирует пара чисел т, для составления полного скаляра надо рассматривать произведе- ния четного числа З^'-символов. Упрощение произведения двух З^'-символов приводит, в силу свойства их ортогональности, к тривиальному результату: Е Л 32 Зз \ ( Л 32 Зз л mi 7712 4^3) \~rnl —ГП2 —тЗ) Л 32 J6 \ _ ^ \mi 1712 П т\т2гпз (здесь использовано равенство т\ + iri2 + 7тгз = 0 и формулы A06.6) и A06.12)). Поэтому наименьшее число сомножителей, необходимое для получения нетривиального скаляра, равно че- тырем. В каждом З^'-символе три числа j составляют геометри- чески замкнутый треугольник. Поскольку каждое число j долж- но фигурировать, при «упрощении», в двух 3j-символах, то ясно, что при составлении скаляра из произведений четырех 3j-chm- волов имеется 6 чисел j, которые геометрически должны изо- бражаться длинами ребер неправильного тетраэдра (рис. 45); каждому из 3j-символов соответствует одна из его граней. В определении искомого скаляра принято определенное условие в отношении произведения процесса упрощения, выражаемое сле- дующей формулой: C1 h h\ = V^ (_i)^{ji~mi) ( 31 32 h \ Ш Зъ к) ^ V } \-rni -т2 -т3] все т C1 зъ к\ (н 32 к \ ( н к к\ \mi -Ш5 me/ \Ш4 rri2 —те) \-т4 Ш5 шзу ' Суммирование производится здесь по всем возможным значе- ниям всех чисел т; поскольку, однако, сумма трех т в каж- дом З^'-символе должна быть равна нулю, фактически лишь 538 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ три из шести т независимы. Величины, определенные фор- мулой A08.2), называют 6j-символами или коэффициентами Рака1). Из определения A08.2), с учетом свойств симметрии З^'-сим- волов, легко убедиться в том, что 6j-символ не меняется при любой перестановке трех его столбцов, а в каж- дой паре столбцов молено переставить верхнее и нижнее числа. В силу этих свойств симметрии последовательность чисел л ... je в б^'-символе можно представить в 24 эквивалентных видах2). Кроме того, б^'-символы обладают еще одним, ме- нее очевидным, свойством симметрии, устанавли- вающим равенство между символами с различны- с. 45 ми наборами чисел j: (*>, io i\n f-? o(hhJh) (hh3з)} P.1 P f\ = { I I > A08.3) LJ4 ЗЪ 36) |^'4 - (j2 4- J5 + ) (J+J+J)J (T.Regge, 1959K). Укажем полезное соотношение между 6j- и З^'-символами, ко- торое можно получить с помощью определения A08.2): 32 3§ \ х \rri4 ГП2 —vn§) х ( н зъ h\ = (л h h\ [зу h h\ /1П8 а) \-гп4 тъ msJ \mi m2 m3) \j4 Зъ к) ' к ' } Выражение, суммируемое в левой части равенства, отличается от суммы в A08.2), отсутствием одного множителя Cj-chmbo- ла). Можно сказать поэтому, что сумма в A08.4) изображает- ся тетраэдром (рис. 45) без одной из его граней; этим опреде- ляется отличие суммы от скаляра. Другими словами, по сво- Е(_\\34+3ь+3ъ-'т4-'ть-тб f 3l 3b 3§\ ( ^ ^ \mi —ГП5 т§) \ 1) В литературе используется также обозначение ) Если представить себе четырехгранник рис. 45 как правильный тетра- эдр, то 24 эквивалентные перестановки чисел j могут быть получены как результат применения 24 преобразований симметрии (поворотов и отраже- ний) тетраэдра. 3) См. примеч. на с. 529. § 108 б^-символы 539 им трансформационным свойствам она соответствует одному З^'-символу—стоящему в правой части равенства A08.4), кото- рому она должна быть пропорциональна. Коэффициент же про- порциональности (б^'-символ в правой части равенства) легко получить, умножив обе части равенства на (Л h h \ и просуммировав по оставшимся числам mi, Ш2, газ- б^'-символы появляются естественным образом при рассмот- рении следующего вопроса, связанного со сложением трех мо- ментов. Пусть три момента ji, J2, J3 складываются в результирующий момент J. Заданием момента J (и его проекции М) состояние системы, однако, еще не определяется однозначным образом; оно зависит и от способа сложения моментов (или, как говорят, от схемы их связи). Рассмотрим, например, такие две схемы связи: 1) сначала моменты ji и 22 складываются в суммарный момент 2\2, а за- тем ji2 и J3 складываются в окончательный момент J; 2) момен- ты J2 и J3 складываются в j235 а затем J2% и Л — в J- Первой схеме соответствуют состояния, в которых (наряду с ji, J2 Зъ-> J, M) имеет определенное значение величина j±2] их волновые функции обозначим через ipj12jM (опуская, для краткости, по- вторяющиеся индексы jiJ2J3)- Аналогично, волновые функции второй схемы связи обозначим через ipj23jM В обоих случаях значения «промежуточного» момента (ju или J23), вообще го- воря, неоднозначны, так что мы имеем (при заданных J, M) два различных набора состояний, различающихся значениями ji2 или ji3- Согласно общим правилам функции этих двух набо- ров связаны друг с другом определенным унитарным преобра- зованием = ^ (J12 Ь'гз)^ JM- A08.5) 312 Из физических соображений очевидно, что коэффициенты этого преобразования не зависят от числа М— они не мо- гут зависеть от ориентации всей системы в пространстве. Та- ким образом, они зависят лишь от значений шести моментов Л 32 J3 З12 J23 J•> но не от их проекций, т. е. являются ска- лярными (в указанном выше смысле) величинами. Фактическое вычисление этих коэффициентов легко произвести следующим образом. 540 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Путем двукратного применения формулы A06.9) находим М = (m) (знак (m) под знаком суммы означает, что суммирование про- изводится по всем входящим в выражение числам Ш1,Ш2,...). Используя ортонормированность функций ijjjm, найдем теперь (J12|J23> = / ^j12JM^323JM dq = 21JM) (raira231JM) (mim21 j'12^12) (^2^3 b'23^23) • (m) Сумма в правой части равенства берется при заданном значе- нии М, но результат суммирования в действительности (по ука- занной выше причине) от М не зависит. Поэтому суммирование можно распространить и по значениям М, введя при этом перед суммой множитель 1/BJ + 1). Выражая затем коэффициенты m) через З^'-символы согласно A06.10), получим: A08.6) Связь 6j-символов с коэффициентами преобразования A08.5) позволяет легко получить некоторые полезные формулы для суммирования произведений б^'-символов. Прежде всего, в силу унитарности преобразования A08.5) (и вещественности его коэффициентов), имеет место соотношение Далее рассмотрим три схемы связи трех моментов — с про- межуточными суммами соответственно ji2, J23 и J31- Коэффици- енты соответствующих преобразований A08.6) связаны между собой, согласно правилу умножения матриц, соотношением J23 § 108 б^-символы 541 Подставив сюда A08.6) и изменив обозначение индексов, полу- чим (-1) К? + 1Нл J5 j/b2 J5 h)~\H Зъ hi' 3 A08.8) Наконец, путем рассмотрения различных схем связи четырех моментов можно получитьх) следующую формулу сложения для произведений трех 6j-символов: J9 h 3I37 3 h)U7 h 3 _/л h h\fh л h\ -\J4 h hJXJr h hi (L. C. Biedenharn, J. P. Elliott, 1953). Приведем, для справок, некоторые явные выражения для б^'-символов. б^'-символ может быть представлен в общем случае в виде следующей суммы: J2 ~J3)Kz~h ~h ~ J6)KZ ~ J4 - J2 - x(ji+h+J4+h-z)\(J2+h+J5+k-z)\(j3+j1+j6+j4-z)\, A08.10) где а сумма берется по всем положительным целым значениям z, при которых ни один из факториалов в знаменателе не имеет отрицательного аргумента. В табл. 10 даны формулы б^'-симво- лов для случаев, когда один из параметров равен 0, 1/2 или 1. В заключение сделаем несколько замечаний о составляемых из 3j-символов скалярах более высокого порядка. Следующим по сложности после З^'-символа является скаляр, составляемый путем упрощения произведений шести 3j-симво- лов. Эти З^'-символы содержат 18 попарно совпадающих чисел j, См. цитированную выше книгу Эдмондса. 542 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ так что возникающий в результате скаляр зависит от 9 параме- тров j. Его принято называть 9j- символом и определять следу- ющим образом (Е. Wigner, 1951)х): ^12 raw \m2\ Ш22 ГП23) J32 J33\ /Jll J21 J j m32 mj \т т т) х C12 322 332 (jl3 J23 J33\ (IQg Ц) Wl3 ^23 ^33/ ' ^ ' ' Таблица 10 fa lo 6 С 6 1 J Формулы (-1Г N/B6+l)Bc+l)' для s б^'-символов B + 6 + С a C S = (-D- 1 c-1 6-lJ L B6- 1J6B6+ l)Bc-lJcBc+l) a 6 с 1 = r2(s+l)(s-2a)(s-26)(s-2c+lI1/2 1 c-1 6 J [26B6+ l)B6 + 2)Bc-lJcBc+l)J 1 c-1 6+lJ L B6+l)B6 + 2)B6 + 3)Bc-lJcBc+l) a 6 c| +1 2[6F+l) + c(c+l)-a(a + l)] 1 с 6j [26B6+l)B6 + 2JcBc+l)Bc + 2)]1/2 ) По общему правилу упрощения A08.1) надо было бы писать аргу- менты т в последних трех З^'-символах со знаком минус и ввести под знак суммы множитель (—1)^^'~ш). Воспользовавшись, однако, свойст- вом A06.6) З^-символов и учитывая, что в данном случае, как легко со- образить, сумма ^2 т всех девяти чисел т равна нулю, мы придем к опре- делению A08.11). § 109 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ МОМЕНТОВ 543 Эта величина может быть также представлена в виде суммы произведений трех 6j-символов: {7и 712 7131 г • ¦ ¦ ^ ^oi 1оо loo > — \ ( Л\ Э (*) i -А- 1^ J ^ J2L J6L I s. JLZ J22 J62 I \ J16 J26 J66 I /ino 1 O\ IJ21 j J23J I J Л1 J12, В эквивалентности A08.11) и A08.12) можно убедиться, подста- вив в A08.12) определение A08.2) и воспользовавшись свойства- ми ортогональности З^'-символов. 9 j-символ обладает высокой симметрией, следующей непо- средственно из определения A08.11) и свойств симметрии З^'-символов. Легко убедиться, что при перестановке любых его двух строк или двух столбцов Э^'-символ умножается на (—l)^j. Кроме того, Э^'-символ не меняется при транспонировании, т. е. при взаимной замене строк и столбцов. Скаляры еще более высоких порядков зависят от еще боль- шего числа параметров j. Очевидно, что это число должно быть всегда кратно трем (Зп^'-символы). Мы не будем останавливать- ся здесь на свойствах этих величин. Упомянем лишь, что при каждом п > 3 имеется более чем по одному различному не сво- дящемуся друг к другу типу Зтг/'-символов. Так, имеется два различных типа 12 j -символов1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «6 j-символы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
