Эти формулы являются в действи- тельности частным случаем общих формул, решающих такую же задачу для неприводимого (см. с. 268) тензора любого ран- га1). Совокупность 2к + 1 компонент неприводимого тензора ран- га к (к — целое число) по своим трансформационным свойст- вам эквивалентна совокупности 2к + 1 сферических функций Y^q (q = — fc, ...,fc) (см. примеч. на с. 268). Это значит, что путем составления соответствующих линейных комбинаций компонент тензора можно получить набор величин, преобразующихся при вращениях как функции Y^q. Совокупность таких величин, кото- рые мы будем обозначать здесь через /^, назовем сферическим тензором ранга к. Так, вектору соответствует значение к = 1, а величины f\q связаны с компонентами вектора следующими формулами: /ю = iaz, /i,±i = Т(г/у/2)(ах ± гау) A07.1) (ср. E7.7)). Аналогичные формулы для тензора второго ранга ) Разработка вопросов, рассматриваемых в § 107—109, и большинство из- лагаемых в них результатов принадлежат Рака A942/1943). § 107 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРОВ 533 имеют вид /20 = -\fW*azz-> Д±1 = ±@>xz =Ь iCiyZ), , у 2ч /2,±2 = -A/2)(ахх - ауу ± 2гаху). причем ахх + ауу + azz = О1). Составление тензорных произведений из двух (или больше- го числа) сферических тензоров fkiqi, fk2q2 происходит в соот- ветствии с правилами сложения моментов, причем fci, кч игра- ют формально роль «моментов», соответствующих этим тензо- рам. Таким образом, из двух сферических тензоров рангов к\ и &2 можно образовать сферические тензоры рангов К = к\ + + &2,..., |fci — &2| по формулам ^^ (Ю7.3) (ср. A06.9)). Скалярное произведение двух сферических тензо- ров одинакового ранга к принято, однако, определять как (Ю7.4) Я. что отличается от определения по формуле A07.3) с К = Q = 0 множителем л/2к + 1 (ср. A06.2)J). Это определение можно представить также в виде (fkgkH0 = q если заметить, что комплексное сопряжение сферического тен- зора производится по правилу fU = (-i)fe-9/fe,-, (ср. B8.9K). г) Подразумевается, что комплексность величин Дд связана только с пе- реходом к сферическим координатам, т. е. исходные декартовы компоненты тензора вещественны. 2)Если А и В — два вектора, соответствующих по формулам A07.1) сфе- рическим тензорам f\q и gig, то (/igi)oo = АВ. 3) Повторим здесь замечание, сделанное выше в связи с формулой A06.8): при таком правиле комплексное сопряжение тензоров рангов кг и к2 в правой части равенства A07.3) приводит к такому же сопряжению тензора ранга К в его левой части. 534 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Представление физических величин в виде сферических тен- зоров в особенности удобно при вычислении их матричных эле- ментов, так как позволяет воспользоваться для этой цели ре- зультатами теории сложения моментов. По определению матричных элементов, имеем (nfjfmf\fkq\njm)<ipnfj,m4 A07.5) где ipnjm — волновые функции стационарных состояний систе- мы, характеризуемых величиной ее момента j, его проекцией т и набором остальных квантовых чисел п. По своим трансфор- мационным свойствам функции в правой и левой частях равен- ства A07.5)) соответствуют функциям в правой и левой частях равенства A06.11). Отсюда сразу следуют правила отбора. Матричные элементы компонент fkq неприводимого тензо- ра ранга к отличны от нуля лишь для переходов jm —>> fmr, удовлетворяющих «правилу сложения моментов» j7 = j + k; при этом числа У, з, к должны удовлетворять «правилу треуголь- ника» (т.е. могут измерять стороны замкнутого треугольника), a ml = т + q. В частности, диагональные матричные элементы могут быть отличны от нуля только при условии 2j ^ к. Далее, из той же трансформационной аналогии следует, что коэффициенты в сумме A07.5) должны быть пропорциональны коэффициентам в A06.11) (теорема Вагнера-Эккарта). Этим определяется зависимость коэффициентов от чисел т, т', в со- ответствии с чем представим матричные элементы в виде (njfm'\fkq\njm)= ik(-l)j™-m (^ \ fy A07.6) где jmax —большее из чисел j и j'\ (nfjf\\fk\\nj) — величины, не зависящие от m, m!, qf] их называют приведенными матрич- ными элементами. Эта формула решает поставленный вопрос об определении зависимости матричных элементов от проек- ций моментов. Эта зависимость оказывается полностью связан- ной со свойствами симметрии по отношению к группе враще- ний, между тем как зависимость от остальных квантовых чисел определяется уже физической природой самих величин fkq1) • х) Из полученных результатов, в частности, следуют указанные в § 29 пра- вила отбора для матричных элементов вектора и формулы B9.7)-B9.9) для них. § 107 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРОВ 535 Операторы fkq связаны друг с другом соотношениями fkq = {-l)k~qk-q. (Ю7.7) Поэтому для их матричных элементов имеет место равенство (n'j'm\fkq\njmy = (-l)k-q(njm\fk^q\nfj'mf). A07.8) Подставив сюда A07.6) и воспользовавшись свойствами 3j-chm- волов A06.5), A06.6), получим для приведенных матричных эле- ментов соотношение «эрмитовости» х) (n'j'\\fk\\nj) = (nj\\fk\\n'j'y. (Ю7.9) Матричные элементы скаляра A07.4) диагональны по j и т. Согласно правилу умножения матриц имеем (nfjm\(fkgk)oo\njm) = Е "j"m Подставив сюда выражения A07.6) и произведя суммирование по q и т" с помощью соотношения ортогональности З^'-симво- лов A06.12), получим следующую формулу: (n'jm\(fkgk)oo\njm) = ^- Е (п'j\\fk\\n"j"){n"j"\\gk\\nj). 3 j A07.10) Аналогичным образом легко получить следующие формулы суммирования квадратов матричных элементов: A07.11) qm' A07.12) В первой из них суммирование производится по q и ml при за- данном т, а во второй—по т и т! при заданном q (причем всегда ml = m + q). Рассмотрим, со справочными целями, случай, когда величи- нами fkq являются сами шаровые функции Ykq, и дадим выраже- ния их матричных элементов для переходов между состояниями г) Фазовый множитель в определении A07.6) выбран именно так, чтобы обеспечить это равенство. 536 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ одной частицы с целочисленными орбитальными моментами 1\ и /2, т.е. интегралов (hm1\Ylm\l2m2) = JV,*miy,my,2Tn2 do. A07.13) Помимо правила отбора, соответствующего правилу сложения моментов A + I2 = li), для этих матричных элементов имеет ме- сто также правило, согласно которому сумма I + h + fa должна быть четным числом. Оно связано с сохранением четности, в си- лу которого произведение четностей (—1)^+^ обоих состояний должно совпадать с четностью (—II рассматриваемой физиче- ской величины (см. §30). Матричные элементы A07.13) являются частным случаем бо- лее общего интеграла, который будет вычислен в § 110 (см. при- меч. на с. 547). Они даются формулой B1 + l)Bf! + 1)B1а + 1) В частности, при т\ = т2 = т = 0 находим значение интеграла от произведения трех полиномов Лежандра 1 § J о2)'. A07.15)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Матричные элементы тензоров» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
