При 1а ф 1в ф 1с вычисле- ние уровней энергии в общем виде невозможно. Вырождение по направлениям момента относительно волчка здесь снимается полностью, так что данному J соответствует 2 J + 1 различных невырожденных уровней. Для вычисления этих уровней (при за- данном J) следует исходить из уравнения Шредингера, записан- ного в матричном виде [О. Klein, 1929). Это делается следующим образом. Волновые функции фл~ состояний волчка с определенны- ми значениями J и (^-проекции момента — это найденные выше функции A03.8) (индекс ^-проекции момента М, от которой энергия не зависит, для краткости ниже опускаем); в этих со- стояниях энергия асимметричного волчка не имеет определен- ных значений. Напротив, в стационарных состояниях не имеет определенных значений проекция J^, т. е. уровням энергии нель- зя приписать определенных значений к. Волновые функции этих состояний ищем в виде линейных комбинаций A03-9) к (подразумевается, что все функции —с каким-либо одинаковым для всех значением М). Подстановка в уравнение Шредингера приводит к системе уравнений kf) - Е8ш)ск, = 0, A03.10) к' а условие разрешимости этой системы дает секулярное уравне- ние \(Jk\H\Jkf) - Е8Ш\ = 0. A03.11) Корни этого уравнения определяют уровни энергии волчка, по- сле чего система уравнений A03.10) позволит найти линейные комбинации A03.9), диагонализующие гамильтониан, т.е. вол- новые функции стационарных состояний волчка с заданным значением J (и М). Вычисление же матричных элементов ка- кой-либо физической величины по этим волновым функциям сводится, таким образом, к матричным элементам симметрич- ного волчка. ^ ^ Операторы J^, Jv имеют матричные элементы только для пе- реходов с изменением к на единицу, a J^ — только диагональные элементы (см. формулы B7.13), в которых надо писать J, к вме- сто L, М). Поэтому операторы J?, J?, J?, ас ними и Н имеют § 103 КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА 503 матричные элементы лишь для переходов с к —>• fc, к ± 2. От- сутствие матричных элементов для переходов между состояни- ями с четными и нечетными к приводит к тому, что секулярное уравнение степени 2 J + 1 сразу распадается на два независи- мых уравнения степеней J и J + 1. Одно из них составляется из матричных элементов для переходов между состояниями с четными, а другое —с нечетными значениями к. Каждое из этих уравнений в свою очередь может быть при- ведено к двум уравнениям более низкой степени. Для этого надо пользоваться матричными элементами, определенными не с по- мощью функций ipjk, а с помощью функций (Ю3.12) Функции, отличающиеся индексом + и —, обладают различ- ной симметрией (по отношению к меняющему знак к отраже- нию в плоскости, проходящей через ось ?), а потому матричные элементы для переходов между ними исчезают. Следовательно, можно составлять секулярные уравнения в отдельности для со- стояний + и состояний —. Гамильтониан A03.1) (вместе с правилами коммутации A03.3)) обладает специфической симметрией—он инвариантен по отношению к одновременному изменению знака любых двух из операторов J^, J^, Jf. Такая симметрия формально соот- ветствует группе D<i- Поэтому уровни асимметричного волч- ка можно классифицировать по неприводимым представлениям этой группы. Таким образом, имеется четыре типа невырож- денных уровней, соответствующих представлениям Д В\, i?2, В3 (см. табл.7, с. 460). Легко установить, какие именно состояния асимметричного волчка относятся к каждому из этих типов. Для этого надо выя- снить свойства симметрии функций ipj^ и составленных из них функций A03.12). Это можно было бы сделать непосредствен- но на основании выражений A03.8). Проще, однако, исходить из более обычных сферических функций, заметив, что по своим свойствам симметрии волновые функции состояний с опреде- ленными значениями проекции момента на ось ? совпадают с собственными функциями момента V'Jfc ~ Yj\(e, <р) ~ e-^Qjkie), A03.13) 504 МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ ГЛ. XIII где #, (р — сферические углы в осях ?г)?, а знак ~ означает здесь слова «преобразуется как»; комплексное сопряжение в A03.13) связано с измененным знаком в правых частях соотношений коммутации A03.3). Поворот на угол тг вокруг оси ? (т. е. операция симметрии С\ ) умножает функцию A03.13) на (—1)к: (С). а Операцию С^ можно рассматривать как результат после- довательно проведенных инверсии и отражения в плоскости ??; первая операция умножает ij)jk на (—1)J, а вторая (изменение знака (р) эквивалентна изменению знака к. Учитывая определе- ние функции ®j,-k B8.6), получим поэтому Наконец, при преобразовании C<f = ^2^2) имеем ^ Учитывая эти законы преобразования, найдем, что состо- яния, отвечающие функциям A03.12), относятся к следующим типам симметрии: четные J, четные к — А, четные J, нечетные к — Вз, нечетные J, четные к — В\, . нечетные J, нечетные к — В^-, четные J, четные к — Bi, четные J, нечетные к — ?>2, нечетные J, четные к — А, . нечетные J, нечетные к — Вз. Путем простого подсчета легко найти число состояний каж- дого типа при заданном значении J. Именно, типу А и каждому из типов Si, i?2, S3 соответствуют следующие числа состояний: Ф JK Четные J Нечетные J А 1 + 1 2 J-1 2 В\ , ^2 , Вз J 2 J+1 2 A03.15) § 103 КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА 505 У асимметричного волчка имеют место правила отбора для матричных элементов по отношению к переходам между состоя- ниями типов Д Si, i?2, S3? которые легко получить обычным способом из воображений симметрии. Так, для компонент век- торной физической величины А имеют место правила отбора: для Ас: А ^ ^3 ' » Д,: А <-> В%\ B\Q) <-> В?>, A03.16) ^(f) ^(n) ^(?} » Ас: А<-> Б|и, Ду" ^ Si*J S J_ ' Z О (для ясности указываем в виде индекса у символа представле- ния ось, поворот вокруг которой имеет в данном представлении характер +1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Асимметричный волчок» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
