Не представляет труда также и вычисление уровней энергии в случае, когда лишь два из мо- ментов инерции волчка совпадают: 1а = 1в Ф 1с- Это имеет место для молекул, обладающих одной осью симметрии более чем второго порядка. Гамильтониан A03.1) приобретает вид Отсюда видно, что в состоянии с определенными значения- ми J и к энергия равна чем и определяются уровни энергии симметричного волчка. Вырождение по значениям fc, имевшее место для шарово- го волчка, здесь оказывается частично снятым. Значения энер- гии совпадают лишь для значений fc, отличающихся только зна- ком, что соответствует взаимно противоположным направлени- ям момента относительно оси волчка. Поэтому уровни энергии симметричного волчка при к ф 0 двукратно вырождены. Стационарные состояния симметричного волчка характери- зуются, таким образом, тремя квантовыми числами: момен- том J и его проекциями на ось волчка (J^ = к) и на фикси- рованную в пространстве ось z(Jz = М); от последнего числа энергия волчка не зависит. Отметим в этой связи, что сам факт одновременной измеримости величины момента и его проекций на фиксированную в пространстве и на жестко связанную с физической системой оси1) следует из того, что операторы J2 и Jz коммутативны не только друг с другом, но и с оператором J^ = Jn (n—единичный вектор вдоль оси ?). Это обстоятель- ство легко проверить непосредственным вычислением, но оно очевидно и заранее. Оператор момента сводится к оператору бесконечно малого поворота, а скалярное произведение Jn двух связанных с волчком векторов инвариантно по отношению к любому повороту системы координат. Задача об определении волновых функций стационарных состояний симметричного волчка сводится, следовательно, к нахождению общих собственных функций операторов J2, Jz, J^. В свою очередь этот вопрос математически тесно связан с законом преобразования собственных функций момента при 1) Не смешивать с проекциями (не измеряемыми одновременно) на две фиксированные в пространстве оси! § 103 КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА 501 конечных вращениях. Изменив обозначение квантовых чисел, напишем этот закон E8.7) в виде Фзм = Yl °ш^ P> 7№j*. (Ю3.7) Будем понимать под фзм волновую функцию состояния волч- ка, описываемого по отношению к неподвижным координатным осям xyz, а под ^jfc — волновые функции состояний, описывае- мых по отношению к связанным с волчком осям ?туС- Но в ко- ординатах, жестко связанных с физической системой (волчком), величины фл~ имеют определенные значения, не зависящие от ориентации системы в пространстве; обозначим их как ф^. Формула же A03.7) будет давать угловую зависимость функ- ций i\)jm- Пусть теперь состояние \JM) обладает также и опре- деленным значением к проекции момента на ось ?. Это значит, что из всех величин фj^ будет отлична от нуля лишь одна — с заданным значением к. Тогда сумма в A03.7) сведется к одному члену: Тем самым найдена зависимость волновых функций состоя- ний \JMk) от углов Эйлера, определяющих поворот осей волч- ка по отношению к неподвижным осям. Нормируя волновую функцию условием / |/0jMfe|2sin/3dad)Sd7 = 1? будем иметь ipjMk = i \ 2 DkM(a,f3,^)', A03.8) фазовый множитель выбран так, чтобы при к=0 функция A03.8) переходила в собственную функцию свободного (никак не свя- занного с осью () целочисленного момента J с проекцией М, т.е. в обычную (сферическую) функцию (ср. E8.25I)). ) Прямой вывод выражения A03.8), без обращения к теории конечных вращений, см. в задаче 1 к этому параграфу. О вычислении матричных элементов различных величин по волновым функциям A03.8) см. § 110, 87 (соответствующие формулы отличаются от формул для двухатомной мо- лекулы (без спина) лишь обозначением квантовых чисел—ср. примеч. на с. 389).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметричный волчок» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
