Рассмотрим какую-либо группу симметрии, и пусть ф\ есть некоторая однозначная функция координат (в конфигураци- онном пространстве данной физической системы). При пре- образовании системы координат, соответствующем элементу G г) Группы Т, Td, Th, О, Он называют кубическими. 450 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII группы, эта функция перейдет в некоторую другую функцию. Производя поочередно все g преобразований группы (g — по- рядок группы), мы получим из ф\ в общем случае g различ- ных функций. При определенных выборах ф\ некоторые из этих функций могут, однако, оказаться линейно-зависимыми. В ре- зультате мы получим некоторое число /(/ ^ g) линейно-неза- висимых функций ipi,ip2i - - - irffi которые при преобразованиях симметрии, входящих в рассматриваемую группу, преобразуют- ся линейно друг через друга. Другими словами, в результате преобразования G каждая из функций ф^ (г = 1, 2, ...,/) пере- ходит в линейную комбинацию вида к=1 где Gki — постоянные, зависящие от преобразования G. О сово- купности этих постоянных говорят, как о матрице преобразо- вания1) . В этой связи удобно рассматривать элементы G группы как операторы, воздействующие на функции ф{, так что молено будет написать бфг = ^AкгФк- (94.1) к Функции ipi всегда можно выбрать таким образом, чтобы они были взаимно ортогональны и нормированы. Тогда понятие о матрице преобразования совпадает с понятием о матрице опера- тора в том виде, как оно было определено в § 11: = [ф*бфпс1д. (94.2) Gik= Произведению двух элементов G и Н группы соответствует матрица, определяющаяся по матрицам G и Н с помощью обыч- ного правила перемножения матриц A1.12): (94.3) О совокупности матриц всех элементов группы говорят, как о представлении группы. Функции же ^ъ • • •, V>/, с помощью кото- рых определены эти матрицы, называют базисом представления. Число / этих функций определяет размерность представления. х) Поскольку функции фг предполагаются однозначными, то каждому эле- менту группы соответствует одна определенная матрица. §94 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 451 Рассмотрим интегралы J ф*фк dq. Поскольку интегрирова- ние производится по всему пространству, то очевидно, что при любом повороте или отражении системы координат значения интегралов не изменятся. Другими словами, преобразования симметрии не нарушают ортонормированности функций бази- са, а это значит (см. § 12), что операторы G унитарны1). Соответственно унитарны и матрицы, представляющие эле- менты группы в представлении с ортонормированным базисом. Произведя над функциями ф±,..., фf линейное унитарное преобразование Ф'г = S4>h (94.4) мы получим новую систему функций ф[,... ,ipfr, которые то- же будут ортонормированы (см. § 12J). Взяв в качестве базиса представления функции ф\, мы будем иметь новое представление той же размерности. Такие представления, которые получаются друг из друга путем линейного преобразования функций из ба- зиса, называются эквивалентными] они, очевидно, не являются существенно различными. Матрицы эквивалентных представлений связаны друг с дру- гом простым соотношением: согласно A2.7) матрица операто- ра G в новом представлении равна матрице оператора G1 = S^GS (94.5) в старом представлении. Сумма диагональных элементов (т. е. след) матрицы, пред- ставляющей элемент G группы, называется ее характером; мы будем обозначать характеры через x(G). Очень существенно, что характеры матриц эквивалентных представлений совпада- ют (см. A2.11)). Это обстоятельство придает особую важность описанию представления группы с помощью задания его харак- теров; оно позволяет сразу отличать существенно различные представления от представлений эквивалентных. Ниже мы бу- дем говорить как о различных лишь о неэквивалентных пред- ставлениях. Если понимать под S в (94.5) элемент группы, связываю- щий сопряженные элементы G и G7, то мы придем к результату, г) В этом рассуждении существенно, что интегралы либо равны нулю (при г ф к), либо заведомо отличны от нуля (при г = к) ввиду положительности интегрируемого выражения 1^1 • 2) Напомним (см. A2.12)), что, ввиду унитарности преобразований, сумма квадратов модулей функций базиса инвариантна. 452 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII что в каждом данном представлении группы характеры матриц, представляющих элементы одного класса, одинаковы. Единичному элементу группы Е соответствует тождествен- ное преобразование. Поэтому представляющая его матрица во всяком представлении диагональна, причем диагональные эле- менты равны единице. Характер х{Щ равен, следовательно, про- сто размерности представления Х(Е) = /• (94.6) Рассмотрим некоторое представление размерности /. Мо- жет оказаться, что в результате соответствующего линейного преобразования (94.4) функции базиса разбиваются на наборы по /ъ /2? • • • функций (/i + /2 + ... = /) таким образом, что при воздействии всех элементов группы функции каждого набора преобразуются только друг через друга, не затрагивая функ- ций из других наборов. В таком случае говорят, что данное представление приводимо. Если же число преобразующихся друг через друга функций базиса не может быть уменьшено никаким их линейным пре- образованием, то осуществляемое ими представление называ- ется неприводимым. Всякое приводимое представление может быть, как говорят, разложено на неприводимые представления. Это значит, что соответствующим линейным преобразовани- ем функции базиса разбиваются на ряд наборов, из которых каждый преобразуется при воздействии элементов группы по какому-либо неприводимому представлению. При этом может оказаться, что несколько различных наборов преобразуется по одному и тому же неприводимому представлению; в таком слу- чае говорят, что это неприводимое представление содержится в приводимом соответствующее число раз. Неприводимые представления являются существенной ха- рактеристикой группы и играют основную роль во всех кван- товомеханических применениях теории групп. Укажем главные свойства неприводимых представленийг). Можно показать, что число различных неприводимых пред- ставлений группы равно числу г классов в группе. Мы будем отличать характеры различных неприводимых представлений верхними индексами; характеры матриц элемента G в различ- ных представлениях будут ^(^(G), x^2\G),..., X^r\G). Матричные элементы неприводимых представлений удовле- творяют ряду соотношений ортогональности. Прежде всего для двух различных неприводимых представлений имеют место 1) Доказательство этих свойств молено найти в любом специальном курсе теории групп. § 94 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 453 соотношения ^2Gik)G\m* = °> (94-7) G где а ф /3 отличают два неприводимых представления, а сумми- рование производится по всем элементам группы. Для каждого же неприводимого представления имеют место соотношения ,(a)G(a)* = g_s с Ш.8) G т. е. отличны от нуля лишь суммы квадратов модулей матричных элементов Y\G{a)\2 = $-. ' J IK -С G Соотноптения (94.7), (94.8) можно записать вместе в виде (94.9) G Ja В частности, отсюда можно получить важное соотношение ортогональности для характеров представлений; суммируя обе части равенства (94.9) по парам индексов г, к и /,?тг, получим = g^. (94.10) G При а = /3 имеем J2\xia)(G)\2 = g G — сумма квадратов модулей характеров неприводимого пред- ставления равна порядку группы. Заметим, что этим соотноше- нием можно пользоваться как критерием неприводимости пред- ставления — для приводимого представления эта сумма во вся- ком случае больше g (так она равна ng, если представление содержит в себе п неприводимых частей, которые все различны между собой). Из (94.10) следует также, что равенство характеров двух неприводимых представлений является не только необходимым, но и достаточным условием их эквивалентности. Поскольку характеры, относящиеся к элементам одного класса одинаковы, то в сумме (94.10) в действительности имеется всего г независимых членов, и ее можно переписать в виде = gSaC, (94.11) с 454 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII где суммирование производится по г классам группы (обозна- чаемым условно буквами С), a gc— число элементов в классе С. Поскольку число неприводимых представлений совпадает с числом классов, то величины fac = \/gc / ёХ^а\С) образуют квадратную матрицу г2 величин. Из имеющих место соотношений ортогональности по первому индексу \^2с facfpc = ^а/з) автоматически следуют тогда со- отношения ортогональности по второму индексу: ^2а fac = Sec- Поэтому наряду с (94.11) имеют место формулы СС (94.12) gc OL Среди неприводимых представлений всякой группы всегда имеется одно тривиальное, осуществляющееся одной функцией базиса, инвариантной по отношению ко всем преобразованиям группы. Это одномерное представление называется единичным; все характеры в нем равны единице. Если в соотношении орто- гональности (94.10) или (94.11) одно из представлений — единич- ное, то для другого получим = 0, (94.13) G С т. е. сумма характеров всех элементов группы для всякого нееди- ничного представления равна нулю. Соотношение (94.10) позволяет очень просто произвести раз- ложение всякого приводимого представления на неприводимые, если известны характеры тех и других. Пусть x{G) — характеры некоторого приводимого представ- ления размерности /, и пусть числа а^\а^2\ ..., а^ показыва- ют, сколько раз содержатся в нем соответствующие неприводи- мые представления, так что г (94.14) (f/З — размерности неприводимых представлений). Тогда харак- теры x(G) можно написать в виде (94.15) /3=1 § 94 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 455 Умножая это равенство на X {(*)* и суммируя по всем G, по- лучим в силу (94.10) (94.16) g G Рассмотрим представление размерности / = g, осуществляе- мое g функциями Gi\), где ф есть некоторая функция координат общего вида (так что все получающиеся из нее g функций Gi\) линейно независимы); такое представление называется регуляр- ным. Ясно, что все матрицы этого представления не будут со- держать вовсе диагональных элементов, за исключением толь- ко матрицы, соответствующей единичному элементу; поэтому будет x{G) = 0 при G ф Е и х{Щ — §• Разлагая это пред- ставление на неприводимые, получим, согласно (94.16), для чи- сел а(а) значения а^ = (l/g)gfa = f^a\ т. е. каждое неприводи- мое представление содержится в рассматриваемом приводимом число раз, равное его размерности. Подставив это в (94.14), най- дем соотношение /i2 + /22 + --- + /r =g; (94.17) сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы равна ее порядкуг). Отсюда следует, в частности, что у абелевых групп (где г = g) все неприводимые представления одномерны (/i = /2 = • • • ... = /r = l). Укажем также, без доказательства, что размерности непри- водимых представлений группы являются делителями ее по- рядка. Фактическое разложение регулярного представления на не- приводимые части осуществляется формулой ^ (94.18) g G Легко проверить, что функции щ**' (г = 1, 2,..., /а), определя- емые этой формулой при заданном значении fc, преобразуются друг через друга согласно г) Отметим, что для точечных групп уравнение (94.17) при данных rug фактически может быть удовлетворено набором целых чисел /i,..., fr лишь одним единственным образом. 456 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII т. е. являются базисом а-то неприводимого представления. Да- вая к различные значения, получим, таким образом, fa раз- личных наборов базисных функций ща' для одного и того же неприводимого представления, в соответствии с тем, что каждое неприводимое представление входит в регулярное представле- ние fa раз. Произвольную функцию ф можно представить в виде суммы функций, преобразующихся по неприводимым представлениям группы. Эта задача решается формулами </> = Е Е ^а\ 4а) = к Е 4Q a i g G Для доказательства подставим вторую формулу в первую и, произведя суммирование по г, получим (94.20) Заметив, что размерности fa совпадают с характерами % единичного элемента группы, и воспользовавшись соотношени- ем ортогональности (94.12), найдем, что сумма Х)а/«Х^*(^) отлична от нуля (и равна g), лишь если G—единичный эле- мент группы. Поэтому правая часть (94.20) тождественно сов- падает с ф. Рассмотрим две различные системы функций ф[а , . ..,т/Ла' и ф[ \...,щ, осуществляющие два неприводимых представ- ления группы. Составляя произведения ф\а ф^ , мы получим систему faf/з новых функций, которые могут служить базисом нового представления размерности faf/3- Это представление на- зывается прямым (или кронекеровским) произведением первых двух; оно неприводимо, лишь если по крайней мере одно из /а или fp равно единице. Легко видеть, что характеры прямого про- изведения равны произведениям характеров обоих составляю- щих представлений. Действительно, если а) = Е<*Ч(в), g*P = E то 94 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 457 отсюда для характеров, которые обозначим как получим ? г,/с г /с (Х(а) х x^)(G) = X(a)(G)x(/3)(G). (94.21) Оба перемножаемые неприводимые представления могут, в частности, совпадать; в этом случае мы имеем два различных набора функций ^i,...,^j и^,...,^, осуществляющих одно и то же представление, а прямое произведение представления само на себя осуществляется /2 функциями ipi(fk, и имеет характеры Это приводимое представление можно сразу разбить на два представления меньшей размерности (но, вообще говоря, все еще приводимые). Одно из них осуществляется /(/ +1)/2 функ- циями <фцрк + фк(рг, а другое /(/ - 1)/2 функциями ipi(pk - фк(рг (г ф к) (очевидно, что функции каждого из этих наборов пре- образуются только друг через друга). Первое называется сим- метричным произведением представления самого на себя (его характеры обозначаются символом [х2](^))? а второе— анти- симметричным произведением (его характеры обозначаются символом {x2}(G)). Для определения характеров симметричного произведения пишем l,m _ 1 ~~ 2 Отсюда имеем для характера i,к Но г i,k таким образом, окончательно получим формулу (94.22) 458 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII позволяющую определить характеры симметричного произве- дения представления самого на себя по характерам исходного представления. Совершенно аналогичным образом найдем для характеров антисимметричного произведения формулу1) {X2}(G)=1-{[X(G)]2-X(G2)}. (94.23) Если функции ipi и ifi совпадают, то с их помощью мож- но, очевидно, определить лишь симметричное произведение, осу- ществляемое квадратами ф? и произведениями фгфк (г ^ к). В применениях приходится встречаться и с симметричными про- изведениями более высоких степеней; их характеры молено по- лучить аналогичным образом. Отметим важное для дальнейшего свойство прямых про- изведений. Разложение прямого произведения двух различных неприводимых представлений на неприводимые части содержит единичное представление (причем один только раз), лишь если перемножаемые представления являются комплексно сопряжен- ными. В случае вещественных представлений единичное пред- ставление содержится лишь в прямом произведении неприводи- мого представления самого на себя (причем, очевидно, в его сим- метричной части). Действительно, чтобы узнать, содержится ли в представлении (94.21) единичное представление, надо (соглас- но (94.16)) просто просуммировать его характеры по G (и разде- лить результат на порядок группы g). Сделанное утверждение следует тогда прямо из соотношений ортогональности (94.10). Итак, сделаем несколько замечаний о неприводимых пред- ставлениях группы, являющейся прямым произведением двух других групп (не смешивать с прямым произведением двух представлений одной и той же группы!). Если функции ф^а осуществляют неприводимое представление группы А, а функ- ции ф^' —то же для группы В, то произведения ф^ф\ будут базисом fa/^-мерного представления группы i x В, причем представления неприводимого. Характеры этого представления получаются перемножением соответствующих характеров ис- ходных представлений (ср. вывод формулы (94.21)); элементу С = АВ группы А х В соответствует характер (94.24) х) Полезно заметить, что для представлений с размерностью 2 характеры {%2}(G) совпадают с определителями линейных преобразований G, в чем легко убедиться прямым вычислением. § 95 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП 459 Перемножив, таким образом, друг с другом все неприводимые представления групп А л В, мы получим все неприводимые представления группы Ах В.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Представления групп» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
