Преобразования, входящие в состав группы симметрии тела конечных размеров (в частности, молекулы), должны быть та- кими, чтобы по крайней мере одна точка тела оставалась непо- движной при применении любого из этих преобразований. Дру- гими словами, все оси и плоскости симметрии молекулы должны иметь по крайней мере одну общую точку пересечения. Действи- тельно, последовательный поворот тела вокруг двух непересе- кающихся осей или отражение в непересекающихся плоскостях приводит к поступательному перемещению тела, которое, оче- видно, не может совместить его с самим собой. Группы симмет- рии, обладающие указанным свойством, называются точечными группами. Перед тем как перейти к построению возможных типов то- чечных групп, изложим простой геометрический способ, позво- ляющий легко произвести распределение элементов группы по классам. Пусть О а есть некоторая ось, а элемент группы А есть поворот вокруг этой оси на определенный угол. Пусть, далее, G есть преобразование из той же группы (поворот или отражение), которое, будучи применено к самой оси Оа, переводит ее в по- ложение Ob. Покажем, что элемент В = GAG~1 отвечает тогда повороту вокруг оси Ob на тот же угол, на который элемент А поворачивает вокруг Оа. Действительно, рассмотрим воздей- ствие преобразования GAG~X на саму ось Ob. Преобразование б?, обратное G, переводит ось Ob в положение Оа, так что по- следующий поворот А оставляет ее в этом положении; наконец, G переведет ее обратно в исходное положение. Таким образом, ось Ob остается в результате на месте, так что В есть поворот вокруг этой оси. Поскольку А и В относятся к одному клас- су, то порядок этих элементов одинаков; это значит, что они производят поворот на одинаковый угол. Таким образом, мы приходим к результату, что два поворота на одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которо- го можно совместить одну ось поворота с другой. Точно таким же образом можно показать, что и два отражения в различных плоскостях относятся к одному классу, если какое-либо преоб- разование группы переводит одну плоскость в другую. О самих 442 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII осях или плоскостях симметрии, направления которых могут быть совмещены друг с другом, говорят как об эквивалентных. Некоторые дополнительные замечания требуются для слу- чая, когда оба поворота производятся вокруг одной и той же оси. Элементом, обратным повороту Ck (&=1,2, ...,п — 1) во- круг оси симметрии n-го порядка, является элемент C~k=C™~k, т.е. поворот на угол (п — к)Bтг/п) в том же направлении, или, что то же, поворот на угол 2ктг/п в обратном направлении. Если в числе преобразований группы имеется поворот на угол тг во- круг перпендикулярной оси (такой поворот меняет направление рассматриваемой оси на противоположное), то, согласно дока- занному общему правилу, повороты Ск и С~ будут относиться к одному классу. Отражение а^ в плоскости, перпендикулярной к оси, тоже меняет ее направление на обратное; однако надо иметь в виду, что отражение меняет также и направление вращения. Поэтому наличие а^ не сделает элементы Ск и С~ сопряжен- ными. Отражение же а^ в плоскости, проходящей через ось, не меняет направления оси, но меняет направление вращения, и потому С~к = avCkav, так что при наличии такой плоскости симметрии Ск и С~к относятся к одному классу. Если повороты вокруг оси на одинаковый угол в противоположных направле- ниях сопряжены, то мы будем называть ось двухсторонней. Определение классов точечной группы часто облегчается следующим правилом. Пусть G есть некоторая группа, не со- держащая инверсии /, а С{ — группа из двух элементов: / и Е. Тогда прямое произведение G х С{ есть группа, содержа- щая вдвое больше элементов, чем G; половина из них совпадает с элементами группы G, а остальные получаются умножени- ем последних на /. Поскольку / коммутирует с любым другим преобразованием точечной группы, то ясно, что группа G x d содержит вдвое больше классов, чем G; каждому классу А груп- пы G соответствуют в группе G x Ci, два класса: А и AI. В частности, инверсия I всегда составляет сама по себе класс. Перейдем теперь к перечислению всех возможных точечных групп. Мы будем строить их, начиная от простейших и прибав- ляя к ним новые элементы симметрии. Точечные группы будем обозначать жирными латинскими буквами с соответствующими индексами. I. Группа Сп Простейший тип симметрии содержит всего одну ось сим- метрии n-го порядка. Группа Сп есть группа поворотов вокруг оси n-го порядка. Эта группа, очевидно, циклическая. Каждый из ее п элементов составляет сам по себе класс. Группа С\ § 93 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ 443 содержит только тождественное преобразование Е и соответ- ствует отсутствию какой бы то ни было симметрии. П. Группа S2n Это—группа поворотов вокруг зеркально-поворотной оси четного порядка 2п. Она содержит 2п элементов и является, очевидно, циклической. В частности, группа ?2 содержит все- го два элемента: Е и /; ее обозначают также через С{. Отме- тим также, что если порядок группы есть число вида 2п = = 4р + 2, то среди ее элементов имеется инверсия; очевидно, что E*4р+2Jр+1 — CWft, = 1- Такую группу можно написать в виде прямого произведения: S^p+2 = C2P+i x Cf. ее обозначают также и через C2p+i,i- III. Группа Cnh Эта группа получается присоединением к оси симметрии п-го порядка перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Груп- па Cnh содержит 2п элементов: п поворотов группы Сп и п зеркально-поворотных преобразований С^сги {к = 1, 2, 3,..., п) (в том числе отражение С^сг^ = а^). Все элементы группы ком- мутативны, т. е. группа абелева; число классов равно числу эле- ментов. Если п — четно (п = 2р), то группа содержит центр сим- метрии (так как С\ g^ = С^сг^ = /). Простейшая группа C\h содержит всего два элемента: Е и сг^; ее обозначают также че- рез Cs. IV. Группа Cnv Если присоединить к оси симметрии n-го порядка прохо- дящую через нее плоскость симметрии, то это автоматически приведет к появлению еще (п — 1) плоскостей, пересекающихся друг с другом вдоль оси под углами тг/п (это следует непосред- ственно из геометрической теоремы (91.7I)). Получающаяся при этом группа Cnv содержит, следовательно, 2п элементов: п поворотов вокруг оси n-го порядка и п отражений <jv в верти- кальных плоскостях. На рис. 34 изображены в качестве примера системы осей и плоскостей симметрии групп C%v и C±v. Для определения классов замечаем, что благодаря наличию проходящих через ось симметрии плоскостей симметрии эта ось ) В конечной группе не может быть двух плоскостей симметрии, пересека- ющихся под углом, не равным рациональной части от 2тг. Из факта наличия двух таких плоскостей следовало бы наличие бесконечного числа других плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль одной и той же прямой и по- лучающихся путем отражения неограниченное число раз одной плоскости в другой. Другими словами, наличие двух таких плоскостей приводит сразу к полной аксиальной симметрии. 444 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII двусторонняя. Фактическое распределение элементов по классам различно при четных и нечетных п. У /1 X" г А i г 1 \ г _ c3v Рис. 34 Если п нечетно (п = 2р + 1), то последовательные пово- роты C2p+i совмещают каждую из плоскостей последователь- но со всеми остальными 2р плоскостями, так что все плоско- сти симметрии эквивалентны и отражения в них входят в один класс. Среди поворотов вокруг оси имеется 2р операций, отлич- ных от тождественной, которые попарно сопряжены друг с дру- гом, образуя р классов по два элемента (C^p+i и C^Jf+i, к = 1, 2, ..., р); кроме того, Е составляет еще один отдельный класс. Таким образом, имеется всего р + 2 классов. Если же п четно (п = 2р), то последовательными поворо- тами С*2р можно совместить лишь чередующиеся через одну плоскости; две соседние плоскости не могут быть совмещены друг с другом. Таким образом, имеются два набора по р эквива- лентных плоскостей и соответственно два класса по р элементов (отражений) в каждом. Что касается поворотов вокруг оси, то С2р = Е и C\v = С2 составляют каждый сам по себе класс, а остальные 2р — 2 поворотов попарно сопряжены и дают еще р — 1 классов по два элемента. Всего группа C?2p,v имеет, следователь- но, р + 3 классов. V. Группа Dn Если к оси симметрии n-го порядка присоединить перпенди- кулярную ей ось второго порядка, то это приведет к появлению еще {п— 1) таких же осей, так что будет всего п горизонтальных осей второго порядка, пересекающихся под углами тг/п. Полу- чающаяся группа Dn содержит 2п элементов: п поворотов во- круг оси n-го порядка и п поворотов на угол тг вокруг горизон- тальных осей (условимся обозначать последние через С/2, оста- вив обозначение С*2 для поворота на угол тг вокруг вертикальной $93 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ 445 оси). На рис.34 изображены в качестве примера системы осей групп Z?3 и Z?4- Совершенно аналогично предыдущему случаю, убеждаем- ся, что ось n-го порядка является двусторонней, а горизонталь- ные оси второго порядка все эквивалентны, если п нечетно, или образуют два неэквивалентных набора, если п четно. Следова- тельно, группа Z>2p имеет следующие р + 3 классов: Е, 2 класса по р поворотов U2 в каждом, поворот С2 и (р — 1) классов по два поворота вокруг вертикальной оси. Группа же i?2p+i имеет р + 2 классов: Е, 2р+1 поворотов ^ир классов по два поворота вокруг вертикальной оси. Важным частным случаем является группа 1?2- Ее система осей складывается из трех взаимно перпендикулярных осей вто- рого порядка. Эту группу обозначают также буквой V. VI. Группа Dnh Если добавить к системе осей группы Dn горизонтальную плоскость симметрии, проходящую через п осей второго поряд- ка, то при этом автоматически появится п вертикальных плос- костей, каждая из которых проходит через вертикальную ось и одну из горизонтальных осей. Получающаяся при этом груп- па Dnh содержит 4п элементов; кроме 2п элементов группы Dn в нее входят еще п отражений <jv и п зеркально-поворотных пре- образований Cn&h- На рис. 35 изображена система осей и плос- костей группы Dsh- D3d Рис. 35 Отражение а^ коммутативно со всеми остальными элемента- ми группы; поэтому можно написать Dnh в виде прямого произ- ведения Dnh — Dn х С5, где Сs есть группа из двух элементов Е и а^. При четном п в числе элементов группы имеется инверсия, и можно написать также Z?2p,/i — ^>2р х С%- Отсюда следует, что число классов в группе Dnh равно удво- енному числу классов в группе Dn. Половина из них совпадает 446 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII с классами группы Dn (повороты вокруг осей), а остальные по- лучаются из них умножением на а^. Отражения av в вертикаль- ных плоскостях относятся все к одному классу (если п нечетно) или образуют два класса (при четном п). Зеркально-поворот- ные преобразования сг^С^ и а^С~к попарно сопряжены друг с другом. VII. Группа Dnd Присоединить плоскости симметрии к системе осей груп- пы Dn можно еще одним способом. Именно, можно провести их вертикально через ось n-го порядка посредине между каждыми двумя соседними горизонтальными осями второго порядка. Опять присоединение одной такой плоскости влечет за собой появление еще (п — 1) плоскостей. Получающаяся система осей и плоскостей симметрии определяет группу Dnd (на рис. 35 изображены оси и плоскости групп Did и D^d)- Группа Dnd содержит 4п элементов. К 2п элементам груп- пы Dn присоединяется п отражений в вертикальных плоскостях (обозначаемых через а^ — «диагональные» плоскости) и п пре- образований вида G = U2<Jd- Для того чтобы выяснить характер последних, замечаем, что поворот С/2 можно, согласно (91.6), написать в виде С^ = сг^Оу? где av — отражение в вертикаль- ной плоскости, проходящей через данную ось второго порядка; тогда G = а^сгусгь (преобразований av, a^ самих по себе в чи- сле элементов группы, разумеется, нет). Поскольку плоскости отражений av и а& пересекаются друг с другом вдоль оси п-го порядка, образуя угол (тг/2п)Bк + 1), где к = 1,..., (п — 1) (по- скольку здесь угол между соседними плоскостями равен тг/2п), то, согласно (91.6), имеем avad = С?^1 . Таким образом, нахо- дим, что G = сг/гС<2П+1 = ^2n+1' T-e- эти элементы представляют собой зеркально-поворотные преобразования вокруг вертикаль- ной оси, оказывающейся, следовательно, не простой осью симме- трии n-го порядка, а зеркально-поворотной осью 2п-го порядка. Диагональные плоскости отражают две соседние горизон- тальные оси второго порядка друг в друга; поэтому в рассмат- риваемых группах все оси второго порядка эквивалентны (как при четных, так и при нечетных п). Аналогично, эквивалентны все диагональные плоскости. Зеркально-поворотные преобразо- ^1 2^1 вания S^+1 и б^2^ попарно сопряжены друг с другом1) 1) Действительно, имеем + l ^2fc + l <Jd = O-h&d^2n ad = § 93 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ 447 Применяя эти соображения к группе D2p,d-> находим, что она содержит следующие 2^ + 3 классов: Е, поворот С2 вокруг оси п- го порядка, (р— 1) классов по два сопряженных поворота вокруг той же оси, класс 2р поворотов С/2, класс 2р отражений а^ и р классов по два зеркально-поворотных преобразования. При нечетном п (п = 2р + 1) в числе элементов группы име- ется инверсия (это видно из того, что одна из горизонтальных осей в этом случае перпендикулярна к вертикальной плоскости). Поэтому можно написать l?2p+i,d = ^2р+1 х С%, так что группа Z?2p+i,d содержит 2р+4 классов, получающихся непосредственно из р + 2 классов группы Z^ VIII. Группа Т (группа тетраэдра) Система осей этой группы есть система осей симметрии тет- раэдра. Она может быть получена добавлением к системе осей группы V четырех наклонных осей третьего порядка, повороты ^ ч вокруг которых переводят три оси т V ^' \ с<* второго порядка друг в друга. / ' ч 2 Эту систему осей удобно предста- вить, изображая три оси второ- *С~/ го порядка как проходящие через Ч <V" ' , -'' центры противоположных граней ^ ^-_- куба, а оси третьего порядка— Рис. 36 как пространственные диагонали этого куба. На рис. 36 изображено расположение этих осей в кубе и в тетраэдре (по одной оси каждого типа). Три оси второго порядка эквивалентны между собой. Оси третьего порядка тоже эквивалентны, так как переводятся друг в друга поворотами С2, но они не являются двусторонними осями. Отсюда следует, что 12 элементов в группе Т распределяются по четырем классам: Е, три поворота Сч, четыре поворота С% и четыре поворота С|. IX. Группа Td Эта группа содержит все преобразования симметрии тетра- эдра. Систему ее осей и плоскостей можно получить, добавляя к осям группы Т плоскости симметрии, каждая из которых про- ходит через одну ось второго и две оси третьего порядков. При этом оси второго порядка становятся зеркально-поворотными осями четвертого порядка (подобно тому как это имеет место в группе D2d)- Эту систему удобно представить, рисуя три зеркально-поворотные оси, проходящими через центры проти- воположных граней куба; четыре оси третьего порядка, как его пространственные диагонали; шесть плоскостей симметрии 448 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII проходящими через каждую пару противоположных ребер (на рис. 37 изображено по одному из каждого рода осей и плоско- стей) . Поскольку плоскости симметрии вертикальны по отношению к осям третьего порядка, то последние являются двусторонними осями. Все оси и плоскости каждого рода эквива- лентны. Поэтому 24 элемента группы распреде- ляются по следующим 5 классам: Е, восемь по- воротов Сз и С|, шесть отражений в плоскостях, шесть зеркально-поворотных преобразований $4 и 5|? три поворота C<i = S\. X. Группа Th Эта группа получается из Т добавлением центра симметрии Т^ = Т х С{. В результа- те появляются три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, проходящие через каж- дые две оси второго порядка, а оси третьего по- рядка становятся зеркально-поворотными осями шестого порядка (на рис. 38 изображено по одной из этих осей и плоскостей). Группа содержит 24 элемента, распределен- ных по 8 классам, непосредственно получающим- ся из классов группы Т. XI. Группа О (группа октаэдра) Системой осей этой группы является система осей симмет- рии куба: три оси четвертого порядка проходят через центры противоположных граней, четыре оси третьего порядка — через противоположные вершины и шесть осей второго порядка — че- рез середины противоположных ребер (рис.39). [/ V V Рис. 38 Рис. 39 Легко видеть, что все оси одинакового порядка эквивалент- ны и каждая из них — двусторонняя. Поэтому 24 элемента рас- пределяются по 5 классам: Е, восемь поворотов Сз и С|, шесть поворотов С4 и С|, три поворота С\ и шесть поворотов Сч- § 94 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 449 XII. Группа Oh Это есть группа всех преобразований симметрии куба1). Она получается добавлением к группе О центра симметрии: О^ = О х С г. Оси третьего порядка группы О превращаются при этом в зеркально-поворотные оси шестого порядка (про- странственные диагонали куба); кроме того, появляются еще шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер, и три плоскости, параллельные граням куба (рис. 40). Группа содержит 48 элементов, распределенных по 10 классам, которые могут быть непосредственно получены из классов группы О. Именно, 5 совпадают с классами груп- пы О, а остальными являются: /; восемь зеркально-поворотных преобразований Sq и 5|; шесть зеркально-поворотных преобра- зований C^CTfn CfcTh вокруг осей четвертого порядка; три отра- жения aft в плоскостях, горизонтальных по отношению к осям четвертого порядка; шесть отражений av в плоскостях, верти- кальных по отношению к этим осям. XIII, XIV. Группы Y, Yh (группы икосаэдра) Эти группы осуществляются в природе в качестве групп сим- метрии молекул лишь в исключительных случаях. Поэтому мы ограничимся здесь указанием, что Y есть группа 60 поворо- тов вокруг осей симметрии икосаэдра (правильного 20-гран- ника с треугольными гранями) или пентагонального додека- эдра (правильного 12-гранника с пятиугольными гранями), при- чем имеется 6 осей пятого порядка, 10—третьего и 15—вто- рого. Группа У\ получается добавлением центра симметрии: Yh = Y х Cj, и представляет собой полную группу преобразо- ваний симметрии указанных многогранников. Этим исчерпываются все возможные типы точечных групп, содержащих конечное число элементов. В дополнение к ним на- до рассмотреть так называемые непрерывные точечные груп- пы, содержащие бесконечное число элементов. Это будет сделано в §98.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точечные группы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
