Численные расчеты распределения заряда и поля в атоме ме- тодом самосогласованного поля чрезвычайно громоздки, в осо- бенности для сложных атомов. Но как раз для сложных ато- мов существует другой приближенный метод, ценность которого заключается в его простоте; правда, он приводит к значитель- но менее точным результатам, чем метод самосогласованного поля. В основе этого метода (Е. Fermi, L. Thomas, 1927) лежит тот факт, что в сложных атомах с большим числом электро- нов большинство электронов обладает сравнительно большими главными квантовыми числами. В этих условиях применимо квазиклассическое приближение. Поэтому мы можем применить к состояниям отдельных электронов в атоме понятие о «клетках в фазовом пространстве» (§48). Объем фазового пространства, соответствующий электро- нам, обладающим импульсом, меньшим чем р, и находящимся в 4 Q элементе объема dV физического пространства, равен -ттр dV. о 322 АТОМ ГЛ. X с* * 4irp3dV n Этому объему соответствует —-—-g- клеток1), т.е. возможных состояний, в которых может одновременно находиться не более 2^dV ^dV 3BтгK Зтг2 электронов (в каждой клетке по два электрона со взаимно про- тивоположными спинами). В нормальном состоянии атома элек- троны, находящиеся в каждом элементе объема dV', должны заполнять (в фазовом пространстве) клетки, соответствующие импульсу от нуля до некоторого максимального значения р$. Тогда кинетическая энергия электронов будет иметь в каждой точке по возможности меньшее значение. Если написать чис- ло электронов в объеме dV, как ndV (где п — плотность числа электронов), то можно утверждать, что максимальное значе- ние ро импульса электронов в каждой точке связано с п посред- ством соотношения Зтг2 Максимальное же значение кинетической энергии электрона в месте, где электронная плотность есть п, равно, следовательно, § = ±C7г2пJ/3- G0.1) Пусть, далее, <р(г)—электростатический потенциал, который мы принимаем равным нулю на бесконечности. Полная энергия электрона есть р2/2 — ср. Очевидно, что полная энергия каждо- го электрона должна быть отрицательной; в противном случае электрон уйдет на бесконечность. Обозначим максимальное зна- чение полной энергии электрона в каждой точке через — <^о, где <ро — положительная постоянная (если бы эта величина была не постоянной, то электроны переходили бы из точек с меньшим щ в точки с большим <ро). Таким образом, можно написать f = V ~ <Ро- G0.2) Приравнивая выражения G0.1) и G0.2), получим ^ G0.3) — соотношение, связывающее электронную плотность и потенци- ал в каждой точке атома. х) В этом параграфе пользуемся атомными единицами. § 70 УРАВНЕНИЕ ТОМАСА-ФЕРМИ 323 При ср = сро плотность п обращается в нуль; п должно быть, очевидно, положено равным нулю и во всей области, где <р < (р$, и соотношение G0.2) привело бы к отрицательной максимальной кинетической энергии. Таким образом, уравнением ср = сро определяется граница атома. Но вне центрально-симметричного распределения заря- дов с равным нулю полным зарядом поле отсутствует. Поэтому на границе нейтрального атома должно быть ср = 0. Отсюда сле- дует, что для нейтрального атома постоянная <ро должна быть положена равной нулю. Напротив, для иона постоянная сро от- лична от нуля. Ниже мы рассматриваем нейтральный атом и соответственно этому полагаем сро = 0. Согласно электростатическому уравне- нию Пуассона имеем Аср = 4тгп; подставляя сюда G0.3), получа- ем основное уравнение Томаса-Ферми ^/2- G0.4) Распределение поля в нормальном состоянии атома опреде- ляется центрально-симметричным решением этого уравнения, удовлетворяющим следующим граничным условиям: при г —>> 0 поле должно переходить в кулоново поле ядра, т. е. срг —>• Z] при г —>> ос срг —)> 0. Вводя вместо переменной г новую переменную х согласно определениям г = xbZ'1/3, b=- (—) 2/3 = 0, 885, G0.5) а вместо ср новую неизвестную функцию х: получим уравнение с граничными условиями % = 1 при х = 0 и % = 0 при х = ос. Это уравнение не содержит уже никаких параметров и опреде- ляет, таким образом, универсальную функцию х(х)- В табл. 2 приведена эта функция, полученная путем численного интегри- рования уравнения G0.7). В обычных единицах: rZ1/3 324 ATOM ГЛ. X Функция х(х) монотонно убывает, обращаясь в нуль лишь на бесконечности1). Другими словами, в модели Томаса-Ферми атом не имеет границы, а формально простирается до беско- нечности. Значение производной х'(х) ПРИ х = 0 равно х'@) = = —1,59. Поэтому при х —>> 0 функция х(х) имеет вид %^1 —1,59ж и соответственно потенциал (р(г): <p® « Z/r - 1,80 • Z4/3. G0.8)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Томаса—Ферми» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
