В теории систем, состоящих из большого числа одинако- вых частиц, широко применяется особый метод рассмотрения, известный под названием вторичного квантования. Этот ме- тод в особенности необходим в релятивистской теории, где \ 64 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ 299 приходится иметь дело с системами, в которых самое число ча- стиц является переменным1). Пусть ^1@? ^2@? ••• —некоторая полная система ортого- нальных и нормированных волновых функций стационарных состояний одной частицы2). Это могут быть состояния частицы в некотором произвольно выбранном внешнем поле, но обычно выбираются просто плоские волны — волновые функции свобод- ной частицы с определенными значениями импульса (и проекции спина). При этом с целью сведения спектра состояний к дис- кретному рассматривают движение частиц в большой, но огра- ниченной области пространства; для движения в ограниченном объеме собственные значения компонент импульса пробегают дискретный ряд (причем интервалы между соседними значени- ями обратно пропорциональны линейным размерам области и стремятся к нулю при их увеличении). В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняют- ся по отдельности. Тем самым сохраняются и числа заполнения состояний — числа iVi, N2,..., указывающие, сколько частиц на- ходится в каждом из состояний ф±, гр2, • • • В системе взаимодей- ствующих частиц импульсы каждой из них уже не сохраняются, а потому не сохраняются и числа заполнения. Для такой систе- мы можно говорить лишь о распределении вероятностей различ- ных значений чисел заполнения. Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа заполнения (а не координаты и проекции спинов частиц) играли бы роль независимых переменных. В таком аппарате удобно пользоваться обозначениями Дира- ка (см. конец § 11), выбирая JVi, N2,... в качестве определяющих состояние квантовых чисел. Состояния, отвечающие волновым функциям F1.3) и F1.5), будут обозначаться через |iVi, N2,...). При этом координатные и спиновые переменные уже не фигури- руют в явном виде. Соответственно такому выбору независимых переменных, так же и операторы различных физических величин (в том числе гамильтониан системы) должны формулироваться в тер- минах их воздействия на функции чисел заполнения. К такой формулировке можно прийти, отправляясь от обычного мат- ричного представления операторов. При этом надо рассмотреть ) Метод вторичного квантования был развит Дираком для фотонов в при- менении к теории излучения A927 г.) и затем распространен на фермионы Вигнером и Иорданом (Е. Wigner, P. Jordan, 1928). ) Как и в §61, ? обозначает совокупность координат и проекции спина а частицы, а под интегрированием по d? будет подразумеваться интегрирова- ние по координатам вместе с суммированием по а. 300 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX матричные элементы операторов по отношению к волновым функциям стационарных состояний системы невзаимодейству- ющих частиц. Поскольку эти состояния можно описывать зада- нием определенных значений чисел заполнения, то тем самым выяснится характер воздействия операторов на эти перемен- ные. Рассмотрим сначала системы частиц, подчиняющихся ста- тистике Бозе. Пусть fa есть оператор какой-либо величины, относящейся к одной (а-й) частице, т.е. действующий только на функции пе- ременных ?а. Введем симметричный по всем частицам оператор Л F4Л) (суммирование по всем частицам) и определим его матричные элементы по отношению к волновым функциям F1.3). Пре- жде всего легко сообразить, что матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения чисел A/'i, А/2,. •. (диагональные элементы) и для переходов, при ко- торых одно из этих чисел увеличивается, а другое уменьша- ется на единицу. Действительно, поскольку каждый из опе- раторов fa действует только на одну функцию в произве- дении ipp1(€i)i/)p2{€2) - - -iPpn{€n)i to его матричные элементы могут быть отличны от нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы; но это означает, что число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом —уве- личивается на единицу. Вычисление этих матричных элементов по существу очень просто; его легче произвести самому, чем проследить за его изложением. Поэтому мы приведем только результат вычисления. Недиагональные элементы равны {Ni,Nk - l\FW\Ni - l,Nk) = /^^/ЩЩ- F4.2) Мы указываем только те индексы, по которым матричный эле- мент не диагоналей, опуская для краткости остальные. Здесь цк — матричный элемент fik= J^@P4k@^; F4.3) поскольку операторы fa отличаются только обозначением пе- ременных, на которые они действуют, то интегралы F4.3) от ин- декса а не зависят и этот индекс опущен. Диагональные мат- ричные элементы от F^ представляют собой средние значения 64 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ 301 величины F^1) в состояниях Фд^а^.... Вычисление дает i?N- F4-4) Введем теперь основные в методе вторичного квантования операторы а^, действующие уже не на функции координат, а на функции чисел заполнения. По определению, оператор а^, дей- ствуя на состояние | N\, N2 ,•••), уменьшает на единицу значение переменной 7\^, одновременно умножая функцию на л/Ni1): OilNuNi, ...,Щ,...) = y/Nl\Nu N2,...,Ni-l,...). F4.5) Можно сказать, что оператор щ уменьшает на единицу число частиц, находящихся в г-м состоянии; его называют поэтому опе- ратором уничтожения частиц. Его можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть (Ni - l\ai\Ni) = ^/Щ. F4.6) Сопряженный с щ оператор а^~ изображается, по определе- нию (см. A1.9)), матрицей с единственным элементом (Ni\a+\Ni - 1) = (Ni - l\ai\Ni)* = у/Щ. F4.7) Это значит, что при воздействии на функцию |iVi, JV2,...) он увеличивает число iV^ на 1: a+\NltN2, ...,Nh...) = y/Ni + llNu N2,..., JV< + 1,...). F4.8) Другими словами, оператор а^ увеличивает на 1 число частиц в г-м состоянии; его называют оператором рождения частиц. Произведение операторов а^щ при воздействии на волновую функцию может лишь умножить ее на постоянную, оставляя все переменные TVi, 7\?2,... неизменными: оператор а^ уменьшает пе- ременную Ni на 1, после чего а^ возвращает ее к исходному зна- чению. Непосредственное перемножение матриц F4.6) и F4.7) действительно показывает, что d,^~d,i изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равными Nf. ajai = N^ F4.9) Аналогичным образом найдем aial = Щ + 1. F4.10) ) Введено естественное обозначение а|п) для результата воздействия опе- ратора а на волновую функцию состояния \п). 302 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX Разность этих выражений дает правило коммутации между операторами а^ и а^~: aiaj -ajai = 1. F4.11) Операторы же с различными индексами г и /с, действующие на различные переменные (Ni и А/д.), коммутативны: ^г^к — ^k&i = 0? й^а^Т — d^fcd^i = 0, i ф к. F4.12) Исходя из описанных свойств операторов а^, а^~, легко видеть, что оператор совпадает с оператором F4.1). Действительно, все матричные элементы, вычисленные с помощью F4.6), F4.7), совпадают с элементами F4.2) и F4.4). Этот результат очень важен. В фор- муле F4.13) величины f\k просто числа. Таким образом, нам удалось выразить обычный оператор, действующий на функции координат, в виде оператора, действующего на функции новых переменных — чисел заполнения JV^. Полученный результат легко обобщается и на операторы дру- гого вида. Пусть ?B)ЕЛ?> F4-14) а>Ь где /^ — оператор физической величины, относящейся сразу к паре частиц и поэтому действующей на функции от ?а и ?&. Ана- логичные вычисления покажут, что такой оператор может быть выражен через операторы щ, а^ посредством \ J2 (ik\f{2)\l)ia+amah F4.15) \ г,к,1,т Обобщение этих формул на симметричные по всем частицам опе- раторы любого другого вида (i^3) = ^2f^bc и т.д.) очевидно. С помощью этих формул можно выразить через операто- ры а^, а^ также и гамильтониан исследуемой физической систе- мы из iv взаимодействующих одинаковых частиц. Гамильтони- ан такой системы, разумеется, симметричен по всем частицам. В нерелятивистском приближении1) он не зависит от спинов В отсутствие магнитного поля. § 64 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ 303 частиц и может быть представлен в общем виде следующим об- разом: ,гь,тс) + ... F4.16) а а>Ъ а>Ъ>с Здесь На есть часть гамильтониана, зависящая от координат только одной (а-й) частицы: ?Аа + ^1)(га). F4.17) где и^'(га) — потенциальная энергия одной частицы во внеш- нем поле. Остальные члены в F4.16) отвечают энергии взаимо- действия частиц друг с другом, причем отделены друг от друга члены, зависящие соответственно от координат двух, трех и т. д. частиц. Представление гамильтониана в такой форме позволяет непо- средственно применить формулы F4.13), F4.15) и аналогичные им. Таким образом, \ .. F4.18) г, к i,k,l,m Этим осуществляется искомое выражение гамильтониана в виде оператора, действующего на функции от чисел заполнения. Для системы невзаимодействующих частиц в выражении F4.18) остается только первый член: i,k Если в качестве функций ipi выбраны собственные функции га- мильтониана Н^ отдельной частицы, то матрица Щк диаго- нальна и ее диагональные элементы— собственные значения энергии частицы Е{. Таким образом, Н = заменяя оператор a^ai его собственными значениями F4.9), по- лучим для уровней энергии системы выражение Е = — тривиальный результат, который и должен был получиться. 304 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX Развитый здесь аппарат можно представить в более ком- пактном виде, введя так называемые ф-операторы1) где переменные ? рассматриваются как параметры. В силу ска- занного выше об операторах а^, а+ ясно, что оператор ф умень- шает, а ф+ увеличивает полное число частиц в системе на еди- ницу. Легко видеть, что оператор ^+(?о) создает частицу, находя- щуюся в точке ?о- Действительно, в результате действия операто- ра а^~ создается частица в состоянии с волновой функцией ф{ (?). Отсюда следует, что в результате воздействия оператора фг(^о) создается частица в состоянии с волновой функцией (использована формула E.12), что и соответствует частице с определенными значениями координат и спина2)). Правила коммутации ^-операторов получаются непосред- ственно из правил коммутации операторов а^, а^: = 0, F4.21) ?) = Hz - о- F4.22) Вторично-квантованный оператор F^ напишется с помощью ^-операторов в виде 1рЩ F4.23) (здесь подразумевается, что оператор /W действует в на функции параметров ?). Действительно, подставив сюда ф и ф+ в виде F4.20) и используя определение F4.3), вернемся х) Обратим внимание на аналогию между выражением F4.20) и разло- жением ф = ^пгфг произвольной волновой функции по некоторой полной системе функций. Здесь оно как бы снова квантуется, откуда и происходит название всего метода—вторичное квантование. 2) <Н? ~~ ?о) обозначает условно произведение 8(х - хо)д(у - yoN(z - zoNaGo. § 65 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ 305 к формуле F4.13). Аналогичным образом вместо F4.15) будем иметь Р{2) = 111$+(№+(?)Р)№'Ш0<%<%'. F4.24) В частности, гамильтониан системы, выраженный через ^-операторы, напишется в виде н = |{-?^ + \ ff Ф+(№+(?')иB)(?,?Ш'Ж) (%(%' + ... F4.25) Оператор ф @^@? построенный из ^-операторов подобно произведению ф*ф, определяющему плотность вероятности для частицы в состоянии с волновой функцией ф, называют опера- тором плотности частиц. Интеграл же N = ф+фA? F4.26) играет в аппарате вторичного квантования роль оператора пол- ного числа частиц в системе. Действительно, подставив в него ^-операторы в виде F4.20) и приняв во внимание нормирован- ность и взаимную ортогональность волновых функций, получим N = ^2,^1^- Каждый член этой суммы есть оператор числа ча- стиц в г-м состоянии — согласно F4.9) его собственные значения равны числам заполнения JV^; сумма же всех этих чисел есть полное число частиц в системех). Наконец, отметим, что если система состоит из бозонов раз- личного рода, то в методе вторичного квантования должны быть введены свои операторы а, а+ для каждого рода частиц. При этом, очевидно, операторы, относящиеся к различным родам частиц, коммутативны друг с другом.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вторичное квантование. Случай статистики Бозе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
