Симметрия движения по отношению к изменению знака вре- мени в квантовой механике выражается в том, что если ф есть волновая функция некоторого стационарного состояния систе- мы, то и «обращенная по времени» волновая функция (обозна- чим ее через ^обр) описывает некоторое возможное состояние с 1) Задание этих величин эквивалентно заданию средних значений компо- нент вектора s и всех их степеней и произведений по 2, 3,..., 2s, которые не сводятся к еще более низким степеням (см. задачу 3 § 55). 278 СПИН ГЛ. VIII той же энергией. В конце § 18 было указано, что ф°^ совпадает с комплексно сопряженной функцией ф*. В таком простом ви- де это утверждение относится к волновым функциям без учета спина частиц. При наличии спина оно требует уточнения. Представим волновую функцию частицы со спином s в ви- де контравариантного спинора ф^— (ранга 2s). При переходе к комплексно сопряженным функциям фх^'"* мы получим, од- нако, совокупность величин, преобразующихся как компоненты ковариантного спинора. Поэтому операции обращения времени соответствует переход от волновой функции ф*^— к новой волно- вой функции, ковариантные компоненты которой определяются согласно ф°^ =<фх»-*. F0.1) При заданной совокупности значений индексов A, /i,... ком- поненты ко- и контравариантных спиноров соответствуют от- личающимся по знаку значениям проекции момента. Поэтому в терминах функций ф3<7 обращению времени соответствует пе- реход от фза к ф3,-(т, как и должно было быть, поскольку изме- нение знака времени меняет направление момента. Точное соот- ветствие устанавливается согласно F0.1): <!ч, = СД-1)в-*- F0.2) Другими словами, замена ф8СГ —>• фза^ требуемая операцией обра- щения времени, означает замену1) Фза^ФвМ-1)*'*- F0-3) При двукратном повторении этой операции имеем Таким образом, двукратное обращение времени возвращает вол- новую функцию к исходному значению лишь при целом спине, а при полу цел ом спине оно меняет знак волновой функции. Рассмотрим произвольную систему взаимодействующих ча- стиц. Орбитальный и спиновый моменты такой системы, каждый в отдельности, при учете релятивистских взаимодействий, вооб- ще говоря, не сохраняются. Сохраняется лишь полный момент J. Если никакого внешнего поля нет, то каждый уровень энергии системы Bjf + l) кратно вырожден. При включении внешнего по- ля это вырождение, вообще говоря, снимается. Возникает вопрос о том, может ли вырождение быть снятым полностью, т. е. так, ) Обратим внимание на соответствие правила комплексного сопряжения сферической функции, согласно B8.9), с общим правилом F0.3). § 60 ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ТЕОРЕМА КРАМЕРСА 279 чтобы система имела только простые уровни. Этот вопрос тесно связан с симметрией по отношению к обращению времени. В классической электродинамике имеет место инвариант- ность уравнений по отношению к изменению знака времени, если при этом оставить неизменным электрическое поле и из- менить знак магнитного полях). Это фундаментальное свойство движения должно сохраняться и в квантовой механике. Поэтому симметрия по отношению к обращению времени имеет место не только для замкнутой системы, но и во всяком внешнем элек- трическом поле (при отсутствии магнитного поля). Волновые функции системы представляют собой спиноры 1...^ ранг п которых равен удвоенной сумме спинов всех частиц (п = 2j^5a); эта сумма может не совпадать с полным спином S системы. Согласно сказанному выше мы можем утверждать, что в произвольном электрическом поле волновая функция и обращенная к ней по времени функция должны соответствовать состояниям с одинаковой энергией. Для того чтобы уровень был невырожденным, во всяком случае необходимо, чтобы эти со- стояния были тождественными, т. е. соответствующие волновые функции должны совпадать с точностью до постоянного мно- жителя. При этом, конечно, обе должны быть выражены в виде одинаковых (ко- или контравариантных) спиноров. Напишем ф^ = С^Л/х...? или, согласно F0.1), </,V-* = Сфх^ F0.4) где С — постоянная. Взяв комплексно сопряженное от обеих час- тей этого равенства, получим Опустим индексы в левой части равенства, соответственно под- няв их в правой. Это значит, что мы умножаем обе части равен- ства на ga\g/3fi... и суммируем по индексам A, /i,...; при этом в правой части надо воспользоваться тем, что В результате получим Подставив ф^'"* из F0.4), найдем г) См. II, § 17; см. также замечание в конце §111. 280 СПИН ГЛ. VIII Это равенство должно выполняться тождественно, т. е. должно быть (—1)ПСС* = 1. Но поскольку \С\2 во всяком случае положи- тельно, то ясно, что это возможно лишь при четном п (т. е. при целочисленном значении суммы ^2sa). При нечетном п (при по- луцелом значении ^2 sa)x) условие F0.4) не может выполняться. Таким образом, мы приходим к результату, что электриче- ское поле может полностью снять вырождение только у системы с целочисленным значением суммы спинов частиц. У системы с полуцелой суммой спинов в произвольном электрическом поле все уровни должны быть двукратно вырождены, причем двум различным состояниям с одинаковой энергией соответствуют комплексно сопряженные спиноры2) (H.A.Kramers, 1930). Сделаем еще одно замечание математического характера. Соотношение вида F0.4) с вещественной постоянной С пред- ставляет собой, с математической точки зрения, условие того, чтобы компонентам спинора можно было поставить в соответ- ствие набор каких-либо вещественных величин; такое условие можно назвать условием «вещественности» спинора3). Невоз- можность выполнения соотношения F0.4) при нечетном п озна- чает, что никакому спинору нечетного ранга не может быть сопоставлена вещественная величина. Напротив, при четном п условие F0.4) может выполняться, причем С может быть веще- ственной. В частности, симметричному спинору второго ранга может быть приведен в соответствие вещественный вектор, если выполняется условие F0.4) с С = 1: (в чем легко убедиться с помощью формул E7.8), E7.9)). Вооб- ще, условие F0.4) с С = 1 является условием «вещественности» симметричного спинора любого четного ранга.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обращение времени и теорема Крамерса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
