Развив формальную алгебру спиноров произвольного ранга, мы можем перейти к нашей непосредственной задаче — изучению свойств волновых функций частиц с произвольным спином. К этому вопросу удобно подойти, рассматривая совокупность п частиц со спином 1/2. Максимальное возможное значение ^-компоненты полного спина системы равно п/2, что получается, когда для каждой из частиц sz = 1/2 (все спины направлены в одну сторону — вдоль оси z). В этом случае можно утверждать, что и полный спин S системы равен п/2. § 57 ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ 263 Все компоненты волновой функции ф((Т1, &2, • • •, о~п) системы частиц равны при этом нулю, за исключением только одной — ^A/2,1/2,..., 1/2). Если написать волновую функцию в виде произведения п спиноров ф \р^ ..., из которых каждый отно- сится к одной из частиц, то у каждого из них будет отлична от нуля только компонента с A,/i,... = 1. Таким образом, будет от- личным от нуля только произведение ф1^1... Но совокупность всех этих произведений представляет собой некоторый спинор п-то ранга, симметричный по всем своим индексам. Если произ- вести преобразование системы координат (так, что спины ока- жутся направленными не по оси z\ то мы получим некоторый спинор n-го ранга общего вида, но по-прежнему симметричный. Спиновые свойства волновых функций, будучи по существу их свойствами по отношению к поворотам системы координат, тождественны для частицы со спином s и для системы из п = 2 s частиц со спинами 1/2, направленными так, что полный спин системы равен 5. Отсюда следует, что волновая функция части- цы со спином s представляет собой симметричный спинор ранга п = 2s. Легко видеть, что число независимых компонент симметрич- ного спинора 25-го ранга равно, как и должно было быть, тоже 25 + 1. Действительно, различными будут лишь компоненты, сре- ди индексов которых имеется 25 единиц и 0 двоек, 25 — 1 единиц и одна двойка и т. д. до 0 единиц и 25 двоек. С математической точки зрения, симметричные спиноры да- ют классификацию возможных типов преобразования величин при поворотах системы координат. Если имеется 25 + 1 раз- личных величин, линейно преобразующихся друг через друга (причем число этих величин не может быть уменьшено никаким выбором из линейных комбинаций), то можно утверждать, что закон их преобразования эквивалентен закону преобразования компонент симметричного спинора ранга 25. Всякая совокуп- ность любого числа функций, линейно преобразующихся друг через друга при поворотах системы координат, может быть све- дена (надлежащим линейным преобразованием) к одному или нескольким симметричным спинорамх). Так, произвольный спинор n-го ранга ^Л/лл.. может быть све- ден к симметричным спинорам рангов п, п — 2, п — 4,... Фак- тически такое приведение может быть произведено следующим образом. Симметризуя спинор ^Л/лл.. по всем индексам, образу- ем симметричный спинор того же n-го ранга. Далее, упрощая ) Другими словами, симметричные спиноры осуществляют неприводимые представления группы вращений (см. §98). 264 СПИН ГЛ. VIII исходный спинор ^A/xi/... по различным парам индексов, полу- чим спиноры (п — 2)-го ранга вида ф \v , которые в свою оче- редь симметризуем, так что получаем симметричные спиноры (п — 2)-го ранга. Симметризуя спиноры, получающиеся после упрощения ^Л/x...j по ДВУМ парам индексов, получим симметрич- ные спиноры (п — 4)-го ранга, и т. д. Нам остается еще установить связь между компонентами симметричного спинора 25-го ранга и 2s + 1 функциями ф(а) (где а = 5, s — 1,..., —s). Компонента среди индексов которой 1 повторяется (s + a) раз, а 2 встречается (s — а) раз, соответствует равной а проекции спина на ось z. Действительно, если опять рассматривать систему п = 2s частиц со спином 1/2 вместо одной частицы со спином 5, то написанной компоненте будет соответствовать произведение 5+сг ?~ такое произведение отвечает состоянию, в котором (s + a) ча- стиц имеют проекцию спина, равную +1/2 и (s — а) —проекцию, равную —1/2, так что суммарная проекция равна A/2) (s + а) — — A/2) (s — а) = а. Наконец, коэффициент пропорциональности между написанной компонентой спинора и ф(сг) подберем так, чтобы имело место равенство (эта сумма является скаляром, как и должно быть, поскольку она определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства). В сумме в правой части равенства компоненты с (s + a) индексами 1 встречаются (s + a)\(s - <т)\ раз. Поэтому ясно, что соответствие между функциями ф(а) и компонентами спинора устанавливается формулой 11... 122... 2 E7.2) § 57 ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ 265 Соотношением E7.2) обеспечивается соблюдение не только условия E7.1), но, как легко убедиться, также и более общего условия ^ ^(r^(M) E7.3) где ф^— и (pxjj,... — Два различных спинора одинакового ранга, a ip(cr)i 99(сг) — функции, сопоставляемые с этими спинорами по формуле E7.2) (множитель (—l)s~a связан с тем, что при подни- мании всех индексов у компонент спинора знак меняется столько раз, сколько имеется двоек среди индексов). Формулами E5.5) определяется результат воздействия опе- ратора спина на волновые функции ф(сг). Не представляет тру- да установить, каким образом воздействуют эти операторы на волновую функцию, написанную в виде спинора 2s-ro ранга. В случае спина 1/2 функции ф(+1/2), ф{—1/2) совпадают с ком- понентами ф1, ф2 спинора. Согласно E5.6) и E5.7) результатом воздействия на них операторов спина будет )х {1/2)^\ . Для перехода к общему случаю произвольного спина снова рассматриваем систему из 2s частиц со спином 1/2 и пишем ее волновую функцию в виде произведения 2s спиноров. Опера- тор спина системы частиц представляет собой сумму операторов спинов каждой из частиц, действующих только на соответст- вующий спинор, причем результат их воздействия определяет- ся формулами E7.4). Переходя затем обратно к произвольным симметричным спинорам, т. е. к волновым функциям частицы со спином 5, получим следующие формулы: s-\-a s — a s+сг —1 s — <т + 1 s + cr + 1 s — a — 1 (^ /\11 22 s +a i 11 22 i s — а i 11 22 s + сг s — a s+cr — 1 s — cr+1 s+cr+1 s — a — 1 s-\-a s — a s-\-a s — a MfCtt: = cifi^^-. E7.5) До сих пор мы говорили о спинорах как о волновых функциях собственного момента элементарных частиц. Однако с формаль- ной точки зрения нет никакой разницы между спином отдель- ной частицы и полным моментом любой системы, рассматри- 266 СПИН ГЛ. VIII ваемой как целое, отвлекаясь от ее внутренней структуры. По- этому очевидно, что трансформационные свойства спиноров в той же степени относятся и к поведению по отношению к про- странственным поворотам волновых функций ipjm любой части- цы (или системы частиц) с полным моментом j вне зависимости от его природы (орбитальной или спиновой). Должно поэтому существовать определенное соответствие между законами пре- образования собственных функций ipjm при поворотах системы координат и законами преобразования компонент симметрично- го спинора ранга 2j. При установлении этого соответствия необходимо, однако, четко различать два аспекта зависимости волновых функций от проекции момента т (при заданном значении j). Речь мо- жет идти о волновой функции, как об амплитуде вероятности для различных значений т, и речь может идти о собственной функции для заданного значения т. С этими двумя аспектами мы имели уже дело в начале § 55, где рассматривалась собственная функция 5аао оператора 5^, соответствующая значению sz = его- Математическое отличие между ними в особенности ясно видно на примере частицы со спином s = 1/2. В этом случае спиновая функция есть, по от- ношению к переменной <т, контравариантный спинор 1-го ран- га, т. е. должна быть написана, в соответствии со спинорными обозначениями, как S%.Q. По отношению к сто она является, сле- довательно, ковариантным спинором. Это обстоятельство имеет, очевидно, общий характер: соб- ственные функции ipjm могут быть приведены в соответствие с компонентами ковариантного симметричного спинора ранга 2j по формулам, аналогичным E7.2I): j+m j — m Собственными функциями целочисленного момента j явля- ются шаровые функции Yjm. В особенности важен случай j = 1. Х)К этому результату можно подойти также и несколько иным путем. Если разложить волновую функцию ф частицы в состоянии с моментом j по собственным функциям xjjjm'- ф = X^mam^im' TO коэффициенты а-т представляют собой амплитуды вероятности для различных значений т. В этом смысле они соответствуют «компонентам» ф(т) спиновой волновой функции, чем устанавливается закон их преобразования. С другой сторо- ны, значение ф в данной точке пространства не может зависеть от выбора системы координат, т.е. сумма ^птф^т должна быть скаляром. Сравни- вая со скаляром E7.3), мы видим, что ат должны преобразовываться как § 57 ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ 267 Три шаровые функции У\ш\ I з / з = i\~r cos в = i\\—nz, у 4тг у 4тг 3 -I- ¦ /3 —sin0-e г(р = Ti\ — (пх ±гпу) О7Г У О7Г (п — единичный вектор в направлении радиуса-вектора). Видно, что по своим трансформационным свойствам эти три функции эквивалентны компонентам некоторого вектора а по формулам соответствия, которые запишем в виде -010 = iaz, фц = --^(а* + iay), Ф1-1 = ~^(а* ~ iay)' E7-7) Сравнение этих выражений с формулой E7.6) показывает, что компонентам симметричного спинора второго ранга молено при- вести в соответствие компоненты некоторого вектора по форму- лам % Ъ \ Ъ E7.8) ^,12 = La^ ^п = J_iyax_ia M ^22 = L(aa; + ia). л/2 ' л/2 ' л/2 E7.9) Обратно: az = iV2i>12, ax = -^(ф22 - ф11), ау = -±(фп + ф22). E7.10) Легко проверить, что при таком определении имеет место ра- венство фх^ = аЬ, E7.11) где а и Ь — векторы, соответствующие симметричным спинорам ф^ и ip v. Нетрудно такж:е убедиться в соответствии мелсду спи- нором и векторомх) Ф1^ + Ф^Х" и д/2[аЬ]. E7.12) Формулы E7.10) можно записать в компактном виде с по- мощью матриц Паули E7-13) 1) Смешанные компоненты симметричного спинора молено писать в ви- де ф*, не различая фх^ и ф^х. 268 СПИН ГЛ. VIII (матричные индексы у о написаны сверху и снизу в соответ- ствии с расположением спинорных индексов у ф^)- Происхож- дение этой формулы легко понять, если рассмотреть частный случай, когда спинор второго ранга ф^ сводится к произведению некоторого спинора первого ранга ф^ и его комплексно сопря- женного фх*; тогда величина есть среднее значение спина (для частицы с волновой функци- ей V^)? так что ее векторный характер очевиден. Соответствие E7.8) или E7.9) является частным случаем об- щего правила: всякому симметричному спинору четного ранга 2j (где j — целое) можно привести в соответствие симметричный тензор вдвое меньшего ранга (j), дающий нуль при упрощении по любой паре индексов (такой тензор будем называть неприво- димым). Это следует уже из того, что число независимых ком- понент у таких спинора и тензора одинаково (равно 2j + 1), в чем легко убедиться простым подсчетомг). Соответствие между компонентами спинора и тензора может быть найдено с помо- щью формул E7.8)—E7.10), если рассматривать спинор данного ранга как произведение нескольких спиноров второго ранга, а тензор — как произведение векторов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновые функции частиц с произвольным спином» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
