ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Переходы под влиянием адиабатических возмущений
Мы уже упоминали в §41, что в пределе сколь угодно мед-
ленно меняющегося со временем возмущения вероятность пере-
хода системы из одного состояния в другое стремится к нулю.
Рассмотрим теперь этот вопрос количественно, вычислив веро-
ятность перехода под влиянием медленно меняющегося (адиаба-
тического) воозмущения (Л. Д. Ландау, 1961).
Пусть гамильтониан системы есть медленно меняющаяся
функция времени, стремящаяся к определенным пределам при
t —)> ±оо. Пусть, далее, ipn(q,t) и Еп(t) — собственные функции
и собственные значения энергии (зависящие от времени, как
от параметра), получающиеся в результате решения уравнения
Шредингера Н(Ь)фп = Епфп; ввиду адиабатического характера
временного изменения Н зависимости Еп и фп от времени также
§ 53 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ АДИАБАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ 245
являются медленными. Стоящая перед нами задача состоит в
определении вероятности w2i нахождения системы при t —>• +00
в некотором состоянии ф2, если при t —>> — ос она находилась в
состоянии ф\.
Медленность возмущения приводит к большой длительности
«процесса перехода», и потому изменение действия за это время
(даваемое интегралом — J E(t)dt) велико. В этом смысле постав-
ленная задача имеет квазиклассический характер и в определе-
нии искомой вероятности перехода существенную роль играют
те значения t = to, для которых
??i(t0) = E2(t0) E3.1)
и которые как бы соответствуют «моменту перехода» в клас-
сической механике (ср. §52); в действительности, разумеется,
такой переход классически невозможен, что выражается ком-
плексностью корней уравнения E3.1). В связи с этим возникает
необходимость в исследовании свойств решений уравнения Шре-
дингера при комплексных значениях параметра t в окрестности
точки t = to, в которой два собственных значения энергии ста-
новятся равными.
Как мы увидим, вблизи этой точки собственные функции ^ъ
ф2 сильно зависят от t. Для определения этой зависимости вве-
дем предварительно их линейные комбинации (обозначим их че-
рез (?i, ср2), удовлетворяющие условиям
[ 2 Г 2 Г
I (р-л dq = / (ро dq — 0, / ^р\^р2 dq = 1. E3.2)
J J J
Этого всегда можно достичь надлежащим выбором комплексных
коэффициентов (функций от t). Функции (pi, cp2 уже не имеют
особенности при t = to.
Будем теперь искать собственные функции в виде линейных
комбинаций
ф = a\ip\ + a2(p2. E3.3)
При этом надо иметь в виду, что при комплексных значени-
ях «времени» t зависящий от него оператор H(t) (вида A7.4))
по-прежнему совпадает со своим транспонированным (Н = Н),
но уже не является эрмитовым (Н ф й"*), поскольку потенци-
альная энергия U(t) ф U(t)*.
Подставим E3.3) в уравнение Шредингера и, умножив его
слева один раз на (/?i, а другой раз на (р2, проинтегрируем по dq.
Введя обозначения
Hik(t) = / (fiHifkdq E3.4)
246 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII
и учитывая, что Н\2 = Н2\ ВВИДУ указанного свойства гамиль-
тониана, получим систему уравнений:
Н12а2 = Еа2, _3 _
H22CL2 = Еп\. ^ ' '
Условие разрешимости этой системы дает уравнение (Н\2—ЕJ =
= НцН22, корни которого определяют собственные значения
энергии
= Н\2 ± у Н\\Н22. E3.6)
После этого из E3.5) находим
. E3.7)
Из E3.6) видно, что для совпадения в точке t = to двух соб-
ственных значений в ней должно обращаться в нуль Нц или Н22]
пусть это будет Нц. Обращение функции в нуль в регулярной
точке происходит, вообще говоря, пропорционально t — to. По-
этому
E(t) - E(t0) = ± const V*-*o, E3.8)
т. e. E{t) имеет при t = to точку ветвления. При этом и а2 ~
~ y/t — to, так что в точке t = to имеется всего одна собственная
функция, совпадающая с (р±.
Мы видим теперь, что поставленная задача формально пол-
ностью аналогична рассмотренной в § 52 задаче о надбарьер-
ном отражении. Мы имеем дело с «квазиклассической по вре-
мени» волновой функцией Ф(?) (вместо квазиклассической по
координате функции в §52), и требуется определить член вида
c2ip2exp(—iE2t/H) в волновой функции при t —>- +ос, если при
t —>> —ос волновая функция Ф(?) = ф\ ехр(—iEit/K) (аналогич-
но задаче об определении отраженной волны при х —>> —ос по
прошедшей волне при х —>- +ос); искомая вероятность перехода
^21 = \с2\2. При этом действие S = — f E(t) dt выражается ин-
тегралом по времени от функции, имеющей комплексные точки
ветвления (подобно тому, как имела комплексные точки ветвле-
ния функция р{х) в интеграле Jpdx). Поэтому рассматрива-
емая задача решается путем обхода в плоскости комплексного
переменного t (от больших отрицательных к большим положи-
тельным значениям), полностью аналогично тому, как это было
сделано в § 52 в плоскости переменного ж, и мы не будем повто-
рять здесь соответствующих рассуждений.
Будем считать, что на вещественной оси Е2 > Е\\ тогда
обход должен совершаться в верхней полуплоскости комплекс-
§ 53 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ АДИАБАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ 247
ного t (при смещении в которую отношение e-lE<2t/fi^e-Eit/fi
растет). В результате получим формулу (аналогичную форму-
ле E2.2))
W2i = ехр [ | Im Г E{t) dt ], E3.9)
\ с, /
где интегрирование производится по изображенному на рис. 19
контуру, но в направлении слева направо.
На левой ветви этого контура Е = Е\, а на правой Е = Е2.
Поэтому молено переписать E3.9) в виде
w2i=exp -2Im u2i(t)dt), E3.10)
где CJ21 = (Е2 — Ei)/H] t — любая точка на вещественной оси ?, а в
качестве to должен быть взят тот из находящихся в верхней по-
луплоскости корней уравнения E3.1), для которого показатель
экспоненты в E3.10) имеет наименьшее по абсолютной величине
значение1). Кроме того, с прямым переходом из состояния 1
в состояние 2 могут конкурировать также «пути перехода» че-
рез различные промежуточные состояния, вероятности которых
выражаются аналогичными формулами. Так, для перехода по
«пути» I—>>3—>*2 интеграл в E3.10) заменяется суммой интегра-
лов
C1) B3)
w3i(i)<ft+ Г Lo23{t)dt,
в верхних пределах которых стоят «точки пересечения» соот-
ветственно термов E\{t), Es(t) и i^W? E^{t); этот результат
получается путем обхода по контуру, охватывающему обе эти
комплексные точки2).

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переходы под влиянием адиабатических возмущений» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Розряди іменників за значенням
Методи оцінки реальних інвестиційних проектів
Оцінка
Задача о железном пруте
Теорія оптимізації портфеля інвестицій


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (26.11.2013)
Переглядів: 506 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП