Непосредственное вычисление матричных элементов какой- либо физической величины / с помощью квазиклассических вол- новых функций представляет большие трудности. Мы предпо- лагаем, что энергии состояний, для перехода между которыми 1) Обход же через нижнюю полуплоскость для определения А был бы непригоден, так как на участке пути (—тг < (р < —тг/2), примыкающем к его левому краю (где ф дается формулой B)), член с ехр(г?2/2) экспоненци- ально мал по сравнению с членом с ехр(—г?2/2). 5 51 ВЫЧИСЛЕНИЕ КАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 233 U(x) вычисляется матричный элемент, не близки друг к другу, так что последний не сводится к компоненте Фурье от величины / (§ 48). Трудности связаны с тем, что в си- лу экспоненциального (с большой мнимой экспонентой) характера волновых функ- ций, подынтегральное выражение оказы- вается быстро осциллирующей величи- ной. Будем рассматривать одномерный случай (движение в поле U(x)) и предпо- ложим для простоты, что оператор фи- зической величины / есть просто функ- ция координаты х. Пусть ф± и ^2 вол- новые функции, соответствующие неко- торым значениям Е\ и Е2 энергии частицы (причем Е2 > Е\, рис. 17); будем считать, что ^ъ Ф2 выбраны вещественными. Мы должны вычислить интеграл + ОО i fip2dx. E1.1) Согласно D7.5) волновая функция ф\ в областях по обе сто- роны от точки поворота х = а\ (в достаточном удалении от нее) имеет вид С при х < при х > а\ E1.2) и аналогично для ip2 (c заменой индекса 1 индексом 2). Однако вычисление интеграла E1.1) путем подстановки в него этих асимптотических выражений для волновых функций дало бы неправильный результат. Дело в том, что, как мы уви- дим ниже, этот интеграл является экспоненциально малой вели- чиной, между тем как подынтегральная функция сама по себе не мала. Поэтому уже относительно малое изменение послед- ней изменяет, вообще говоря, порядок величины интеграла. Эта трудность может быть обойдена следующим образом. Функцию 1р2 представим в виде суммы 1р2 — Ф2 ~^~ ^2 > Разло~ жив косинус (в области х > а2) на сумму двух экспоненциальных 234 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII выражений. Согласно E0.2) будем иметь При X < B2, E1.3) при х > а2; функция ф2 комплексно сопряжена с ф? [Ф2 = (^2~)*]- Интеграл E1.1) тоже разобьется на сумму двух комплексно сопряженных интегралов, /12 = /^ + /12, вычислением которых мы и займемся. Предварительно заметим, что интеграл + ОО сходится. Действительно, хотя функция ф^ в области х < a<i экс- поненциально возрастает, но зато функция ф\ в области х < а\ еще быстрее экспоненциально убывает (поскольку везде в обла- сти х < а,2 имеем |pi| > |р2|)- Будем рассматривать координату х как комплексную пере- менную и сместим путь интегрирования с вещественной оси в верхнюю полуплоскость. Когда х получает положительное мни- мое приращение, в функции ф\ (в области х > а\) появляется возрастающий член, но зато функция ф? убывает быстрее, так как везде в области х > а\ имеем р2 > р\. Поэтому подынте- гральное выражение убывает. Смещенный путь интегрирования не проходит уже через точки х = ai,<22 на вещественной оси, вблизи которых квази- классическое приближение неприменимо. Поэтому на всем пути можно пользоваться для ф\ и ф? функциями, являющимися их асимптотическими выражениями в верхней полуплоскости. Это будут функции E1.4) 2 2[2m(t/-?2)]1/4 § 51 ВЫЧИСЛЕНИЕ КАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 235 где корни определяются так, что на вещественной оси в области х < а они положительны. В интеграле -\\ ^2m(U-E2)dx ] _У_..1/4 E1.5) поставим себе целью сместить путь интегрирования таким образом, чтобы, по возможности, уменьшить экспоненциальный множитель. Экспонента имеет экстремум лишь в точках, где U(x) = ос (при Е\ ф Е2 ее производная по х не обращается в нуль ни в каких других точ- ках). Поэтому смещение контура интегрирова- ния в верхнюю полуплоскость ограничивается лишь необходимостью обходить особые точки > ч функции U(x)] согласно общей теории линей- w ных дифференциальных уравнений они совпада- — >- х ют с особыми точками волновых функций ф(х). Конкретный выбор контура зависит от конкрет- Рис- 18 ного вида поля U(x). Так, если функция U(х) имеет в верх- ней полуплоскости всего одну особую точку х = жо, то ин- тегрирование можно производить по пути изображенного на рис. 18 типа. Главную роль в интеграле играет непосредствен- ная окрестность особой точки, так что искомый матричный эле- мент /i2 = 2 Re /^2 в основном пропорционален экспоненциально малому выражению, которое можно представить в виде /i2~exp --Im / л/2т(Е2 -U)dx- I y/2m{E1-U)dx\ E1.6) {Л. Д. Ландау, 1932)х). В качестве нижних пределов интегралов можно выбрать любые точки в классически доступных обла- стях; конкретный их выбор не влияет, очевидно, на мнимую 1) Произведенная при выводе E1.5), E1.6) замена волновых функций их асимптотическими выражениями законна, поскольку порядок величины интеграла, взятого по изображенному на рис. 18 контуру, определяется порядком величины подынтегрального выражения, и потому относительно малое изменение последнего не имеет существенного влияния на значение интеграла. 236 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII часть интегралов. Если функция U(х) имеет несколько особых точек в верхней полуплоскости, то в качестве ж о в E1.6) надо выбрать ту, для которой экспонента имеет наименьшее по абсо- лютной величине значениех). Формула E1.6) упрощается в случае, когда энергии Е\ и Е2 близки, так что матричный элемент сводится, согласно результа- там § 48, к компоненте Фурье по времени классической величины f[x(t)]. Полагая Еъ,\ = Е ± —— и разлагая по HuJi, получаем XQ /i2 ~ ехр [-Ш21 Im / aI™ ттЛ dx = exp(-cj2i Im т). E1.6 a) у J У 2(Е -и) ) Величину // т ri — f dx можно рассматривать как комплексное время, за которое части- ца достигает точки хо в комплексной плоскости х. (Величина же v(x) = у/B([/ — Е(х)))/т есть соответствующая «комплексная скорость».) Легко убедиться в том, что E1.6 а) действительно дает приближенное выражение для компоненты Фурье f[x(t)] при условии CJ21 Im r ^> 1. Вычисление квазиклассических матричных элементов для движения в центрально-симметричном поле производится тем же способом. Однако под U(г) надо теперь понимать эффектив- ную потенциальную энергию (сумма потенциальной и центро- бежной энергий), и для состояний с различными значениями / она будет различной. Имея в виду дальнейшие применения из- лагаемого метода, будем писать эффективные потенциальные энергии в двух состояниях в общем виде, как некоторые U\{r) и С/2 (г). Тогда показатель экспоненциального множителя в по- дынтегральном выражении в E1.5) будет иметь экстремум не только в точках, где U\® или [^(г) обращаются в бесконеч- ность, но еще и в точках, где U2{r)-Ul{r) = E2-El. E1.7) 1) Мы предполагаем, что сама величина f(x) особых точек не имеет. Отметим также, что оценкаE1.6) для матричного элемента предполагает «нормальный» порядок величины предэкспоненциального множителя. Воз- можна, конечно, ситуация, когда этот множитель аномально мал в силу спе- цифики задачи. Простейшим примером является f(x) = const. В этом случае матричный элемент равен нулю из-за ортогональности волновых функций, что не видно из выражения E1.6). § 51 ВЫЧИСЛЕНИЕ КАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 237 Поэтому в формуле dr\ /i2~exp -Jim / л/2т(Е2 - U2) dr - / E1.8) среди конкурирующих значений го надо иметь в виду не только особые точки U\® и U2®, но и корни уравнения E1.7). Центрально-симметричный случай отличается еще и тем, что интегрирование по dr в E1.1) производится в пределах от О (а не от —ос) до +ос: оо /12 = / XlfX2dr. В этом отношении надо различать два случая. Если подынте- гральное выражение есть четная функция от г, то интегриро- вание молено формально распространить на всю область от —ос до +ос, так что никаких отличий от предыдущего не возника- ет. Этот случай может иметь место, если U\® и /Тг(г) — четные функции г [U(—г) = U(г)]. Тогда волновые функции Xi® и Х2(г) —либо четные, либо нечетные функции (см. § 21I), и если функция /(г) тоже четна или нечетна, то произведение XifX2 может оказаться четным. Если же подынтегральное выражение не является четным (что во всяком случае имеет место, если U® не является чет- ной), то начало пути интегрирования не может быть сдвинуто из точки г = 0, и в число конкурирующих в E1.8) значений г о надо включить также и значение г о = 0.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вычисление квазиклассических матричных элементов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
