Пусть х = а есть точка поворота (так что U(a) = Е), и пусть U > Е при всех х > а, так что область справа от точки поворо- та классически недоступна. Волновая функция должна затухать в глубь этой области. В достаточном удалении от точки поворота она имеет вид С ' ± ' pdx j при х > а, D7.1) соответствующий первому члену в D6.10). Слева же от точки поворота волновая функция должна изображаться веществен- ной комбинацией D6.9) двух квазиклассических решений урав- нений Шредингера: X X ф = — ехр [ - pdx) H ехр ( — - pdx) при х < а. D7.2) Vp \п J J Vp \ n J J а а Для определения коэффициентов в этой комбинации надо проследить за изменением волновой функции от положительных х — а (где справедливо выражение D7.1)) к отрицательным х — а. При этом, однако, приходится пройти через область вблизи точ- ки остановки, где квазиклассическое приближение неприменимо и необходимо рассматривать точное решение уравнения Шре- дингера. При малых \х — а\ имеем E-U(x)ttF0(x-a), Fo = -^ < 0; D7.3) ах х—а другими словами, в этой области мы имеем дело с задачей о движении в постоянном поле. Точное решение уравнения Шре- дингера для этой задачи было найдено в § 24, и связь между коэффициентами в D7.1) и D7.2) может быть найдена сравнени- ем с асимптотическими выражениями B4.5) и B4.6) указанного § 47 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 213 точного решения по обе стороны от точки поворота. При этом надо заметить, что из D7.3) следует р(х) = лу2тРо(х — а), так что интеграл fi J а совпадает с выражением в аргументе ехр или sin в B4.5) или B4.6). В этих рассуждениях существенно, что область примени- мости разложения D7.3) и область квазиклассичности частично перекрываются: если движение квазиклассично почти во всей области поля (что и предполагается), то существуют значения \х — а\ настолько малые, что допустимо разложение D7.3), и в то же время настолько большие, что удовлетворяется условие квазиклассичности и применимы асимптотики B4.5), B4.6)х). Методически более поучителен, однако, другой способ, поз- воляющий вообще избежать необходимости прибегать к точно- му решению. Для этого надо рассматривать формально ф(х) как функцию комплексного переменного х и произвести пере- ход от положительных к отрицательным х — а по пути, цели- ком расположенному вдали от точки х = а, так что на всем этом пути формально удовлетворяется условие квазиклассич- ности (A. Zwaan, 1929). При этом снова рассматриваем такие значения \х — а|, для которых в то же время допустимо разло- жение D7.3), так что волновая функция D7.1) принимает вид Проследим сначала за изменением этой функции при обходе вокруг точки х = а справа налево по полуокружности (радиу- са р) в верхней полуплоскости комплексного х. На этой полу- окружности гч> Г / Л 2 3/2/" Зср . . . Зр\ х — а = ре *, I л/х — а ах = -р ' ( cos \- г sin — ), а причем фаза ср меняется от 0 до тг. При этом экспоненциальный множитель в D7.4) сначала (при 0 < <р < 2тг/3) возрастает по г) Действительно, разложение D7.3) применимо при \х — а\ <С Ь, где L — характерное расстояние изменения поля U(x). Условие ж:е квазиклассич- ности D6.7) требует \х — а\3^2 ^> Н/л/т\Fo\. Оба эти условия совместны, поскольку квазиклассичность движения вдали от точки поворота (т. е. при х — а\ rsj L) означает, что L3//2 ^> h/x/m\Fo\. 214 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII модулю, а затем падает по модулю до 1. В конце перехода пока- затель экспоненты становится чисто мнимым, равным X X — / \/2m\Fo\(a — х) dx = — / р(х) dx. п J n J а а В предэкспоненциальном же множителе в D7.4) в результате об- хода Таким образом, вся функция D7.4) переходит во второй член в D7.2) с коэффициентом С2 = (l/2)Ce~i7r/4. Тот факт, что путем обхода через верхнюю полуплоскость оказалось возможным определить лишь коэффициент С2 в D7.2), имеет простое объяснение. Если проследить за изменением функции D7.2) при обходе по той же полуокружности в обрат- ном направлении (слева направо), то мы увидим, что в начале обхода первый член быстро становится экспоненциально малым по сравнению со вторым. Но квазиклассическое приближение не дает возможности заметить экспоненциально малые члены в ф «на фоне» большого основного члена, что и является причиной «потери» первого члена в D7.2) при произведенном обходе. Для определения же коэффициента С\ надо произвести об- ход справа налево по полуокружности в нижней полуплоскости комплексного х. Аналогичным образом найдем, что при этом функция D7.4) переходит в первый член в D7.2) с коэффициен- том d = A/2)CW4. Таким образом, волновой функции D7.1) при х > а соответ- ствует при х < а функция х ф = — cos ( - pdx -\— ]. а Полученное правило соответствия можно записать в виде, не зависящем от того, с какой именно стороны от точки поворота лежит классически недоступная область D7.5) (Н.А с J 1 I а при U(x . Kramers, 1926). pdx )>Е 1 с /i / ) COS \ J Vp [ft / а при pdx U(x) 4 <Е §48 ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА 215 Подчеркнем лишний раз очевидное из вывода обстоятель- ство, что это правило связано с определенным граничным усло- вием, поставленным с одной из сторон от точки поворота, и в этом смысле должно применяться лишь в определенном направ- лении. Именно, правило D7.5) получено при граничном условии ф —>• 0 в глубь классически недоступной области и должно при- меняться для перехода от последней к классически разрешенной области (как и указано в D7.5) стрелкой)х). Если классически доступная область ограничена (при х = а) бесконечно высокой потенциальной стенкой, то граничное усло- вие для волновой функции при х = а есть ф = 0 (см. §18). Квазиклассическое приближение при этом применимо вплоть до самой стенки и волновая функция х с (if \ ф — — sin - pdx ) при х < а, , л^ п, у/р \П J ) D7.bj а ф = 0 при х > а.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Граничные условия в квазиклассическом случае» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
