Если дебройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами L, определяющими условия данной конкретной задачи, то свойства системы близки к клас- сическим. (По аналогии с тем, как волновая оптика переходит в геометрическую при стремлении длины волны к нулю.) Произведем теперь более подробное исследование свойств квазиклассических систем. Для этого в уравнении Шредингера V ^-Ааф + (Е-и)ф = 0 ZTfla а сделаем формальную подстановку A D6.1) Для функции а получаем уравнение Даа = E-U. D6.2) а а а а Соответственно тому, что система предполагается почти класси- ческой по своим свойствам, будем искать а в виде ряда а = (го + -(т1+(-) а2 + ..., D6.3) расположенного по степеням Н. Начнем с рассмотрения наиболее простого случая — одномер- ного движения одной частицы. Уравнение D6.2) сводится тогда к уравнению J-v'i _ iV = E- U{x) D6.4) 2m 2m V J V J (где штрих означает дифференцирование по координате х). В первом приближении пишем а = сто и опускаем в уравнении член, содержащий Н: ±о$ = Е-Щх). § 46 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 209 Отсюда находим сг0 = ± Г у/2га[Е - U(x)] dx. Подынтегральное выражение представляет собой не что иное, как классический импульс р{х) частицы, выраженный в функ- ции от координаты. Определив функцию р(х) со знаком + перед корнем, будем иметь ао = ± pdx, p= ^j2m(E-U), D6.5) что и следовало ожидать в соответствии с предельным выраже- нием F.1) для волновой функции1). Сделанное в уравнении D6.4) пренебрежение законно только в том случае, если второй член в левой части равенства мал по сравнению с первым, т.е. должно быть Н\ап/а/2\ <С 1 или dx В первом приближении имеем, согласно D6.5), а' = р, так что полученное условие можно написать в виде in«>¦ <4м> где Л = Л/2тг, а \{х) = 2ттН/р(х) — дебройлевская длина вол- ны частицы, выраженная как функция от ж с помощью клас- сической функции р{х). Таким образом, мы получили количе- ственное условие квазиклассичности — длина волны частицы должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой. Приближение становится неприменимым в тех областях пространства, где это условие не выполняется. Условие D6.6) можно написать и в ином виде, заметив, что dp _ d rz—т— ^т\ _ m dU _ mF dx dx p dx p где F = —dU/dx есть классическая сила, действующая на ча- стицу во внешнем поле. Вводя эту силу, находим < 1. D6.7) ) Как известно, J pdx есть не зависящая от времени часть действия. Пол- ное механическое действие S частицы есть S = —Et±fpdx. В выражении для его член —Ft отсутствует в соответствии с тем, что мы рассматриваем не зависящую от времени волновую функцию ф. 210 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII Отсюда видно, что квазиклассическое приближение становится неприменимым при слишком малом импульсе частицы. В част- ности, оно заведомо неприменимо вблизи точек поворота, т. е. вблизи тех точек, в которых частица, согласно классической механике, остановилась бы, после чего начала бы двигаться в обратном направлении. Эти точки определяются из равенства р[х) = 0, т. е. Е = U(x). При р —>> 0 дебройлевская длина волны стремится к бесконечности и ясно, что она не может считаться малой. Подчеркнем, однако, что условие D6.6) или D6.7) само по себе может оказаться недостаточным для допустимости ква- зиклассического приближения. Дело в том, что оно получено путем оценки различных членов в дифференциальном уравне- нии D6.4), причем отбрасываемый член содержит старшую про- изводную. Между тем в действительности надо требовать мало- сти последовательных членов разложения в решении этого урав- нения, и она может не обеспечиваться малостью отбрасываемого члена в уравнении. Так, если в решении для <j(x) содержится член, возрастающий с координатой х по закону, близкому к ли- нейному, то малость второй производной в уравнении не мешает тому, что на достаточно больших расстояниях этот член может «набрать» большую величину. Такая ситуация возникает, вооб- ще говоря, когда поле простирается на расстояния, большие по сравнению с характерной длиной L, на которой оно испытыва- ет заметное изменение (см. ниже замечание в связи с форму- лой D6.11)); квазиклассическое приближение оказывается тог- да неприменимым для прослеживания за поведением волновой функции на больших расстояниях. Перейдем к вычислению следующего члена в разложении D6.3). Члены первого порядка по Я в уравнении D6.4) дают ctq^ + ctq/2 = 0, откуда Интегрируя, находим СП = -- lnp D6.8) (постоянную интегрирования опускаем). Подставляя полученное выражение в D6.1), D6.3) получим волновую функцию в виде ф = — ехр [ - pdx) Н ехр ( — - pdx). D6.9) Vp \nJ ) Vp V nJ ) Множитель l/s/p в этой функции допускает простое истол- кование. Вероятность нахождения частицы в точках с коорди- § 46 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 211 натами между х и х + dx определяется квадратом \ф\2^ т.е. в основном пропорциональна 1/р. Это как раз то, что и следовало ожидать для «квазиклассической частицы», поскольку при клас- сическом движении время, проводимое частицей на отрезке dx, обратно пропорционально скорости (или импульсу) частицы. В классически недоступных участках пространства, где Е < U(x), функция р{х)— чисто мнимая, так что показатели вещественны. Общий вид решения волнового уравнения в этих областях * ехр (" i / И Лх) + %ехр (l /|р| dx) ¦ DfU0) Следует, однако, иметь в виду, что точность квазиклассическо- го приближения не дает права сохранять в волновой функции экспоненциально малые члены «на фоне» экспоненциально боль- ших, и в этом смысле одновременное сохранение обоих членов в D6.10), как правило, недопустимо. Хотя обычно нет необходимости в использовании членов бо- лее высоких порядков малости в волновой функции, получим здесь еще и следующий член разложения D6.3), имея в виду отметить некоторые моменты, относящиеся к точности квази- классического приближения. Члены порядка И2 в уравнении D6.4) дают а'0а'2 + A/2)а[2 + A/2)а'{ = 0, откуда (подставляя D6.5) и D6.8) для его и а\) z 4p2 8p6 Интегрируя (причем первый член интегрируется по частям) и вводя силу F = рр1'/га, получим mF т2 [ F2 7 G2 = —о- Н / —г ах. 4р3 8 J р5 Волновая функция в рассматриваемом приближении имеет вид ф = ехр[(г/Н)а] = или I const ^ imH F гит # J7 , I i v I Л \ (ЛС\ ЛЛ\ ц) — _i_ тг / ^~ сьх ехтз I / /у ах i. 14rO. j. j. ) Появление мнимых поправочных членов в предэкспоненци- альном множителе эквивалентно появлению вещественной по- правки в фазе волновой функции (т. е. добавки к интегралу 212 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII - Jpdx в ее экспоненте). Эта поправка оказывается пропорцио- нальной Я, т. е. имеющей порядок величины X/L. Второй и третий члены в квадратной скобке в D6.11) должны быть малы по сравнению с 1. Для первого из них это условие совпадает с D6.7), но во втором оценка интеграла приводит к условию D6.7), лишь если F2 достаточно быстро стремится к нулю на расстояниях ~ L.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновая функция в квазиклассическом случае» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
