Рассмотрим систему, состоящую из двух слабовзаимодей- ствующих частей. Предположим, что в некоторый момент време- ни известно, что эти части обладают определенными значениями энергии, которые мы обозначим соответственно как Еже. Пусть через некоторый интервал времени At производится снова из- мерение энергии; оно дает некоторые значения Е1, е1', вообще говоря, отличные от Е, е. Легко определить, каков порядок ве- личины наиболее вероятного значения разности Е' + г1 — Е — г, которая будет обнаружена в результате измерения. Согласно формуле D2.3) (с ио = 0) вероятность перехода си- стемы (за время t) под влиянием не зависящего от времени воз- мущения из состояния с энергией Е в состояние с энергией Е1 пропорциональна 200 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI Отсюда видно, что наиболее вероятное значение разности Е1 — Е порядка величины H/t. Применив этот результат к рассматриваемому нами случаю (возмущением является взаимодействие между частями систе- мы), мы получим соотношение \E + e-E'-e'\At~H. D4.1) Таким образом, чем меньше интервал времени At, тем боль- шее изменение энергии будет обнаружено. Существенно, что его порядок величины Н/ At не зависит от величины возмущения. Определяемое соотношением D4.1) изменение энергии бу- дет обнаружено даже при сколь угодно слабом взаимодействии между обеими частями системы. Этот результат является чисто квантовым и имеет глубокий физический смысл. Он показыва- ет, что в квантовой механике закон сохранения энергии может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью до величины порядка h/At, где At—интервал времени между измерениями. О соотношении D4.1) часто говорят, как о соотношении не- определенности для энергии. Необходимо, однако, подчеркнуть, что его смысл существенно отличается от смысла соотношения неопределенности Ар Ах ~ Н для координаты и импульса. В по- следнем Ар и Ах — неопределенности в значениях импульса и координаты в один и тот же момент; оно показывает, что эти две величины вообще не могут иметь одновременно строго опре- деленных значений. Энергии же Е, ?, напротив, могут быть измерены в каждый данный момент времени с любой точностью. Величина (Е + е) — — (Ef+sf) в D4.1) есть разность двух точно измеренных значений энергии Е + е в два различных момента времени, а отнюдь не неопределенность в значении энергии в определенный момент времени. Если рассматривать Е как энергию некоторой системы, а е— как энергию «измерительного прибора», то мы можем сказать, что энергия взаимодействия между ними может быть учтена лишь с точностью до Н/At. Обозначим через АЕ, Ае,... погрешности в измерениях соответствующих величин. В благо- приятном случае, когда ?, е1 известны точно (Ае = Ае1 = 0), имеем А(Е - Е1) ~ ±. D4.2) Из этого соотношения можно вывести важные следствия от- носительно измерения импульса. Процесс измерения импуль- са частицы (будем говорить для определенности об электроне) §44 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ЭНЕРГИИ 201 включает в себя столкновение электрона с некоторой другой («измерительной») частицей, импульсы которой до и после столкновения могут считаться известными точног). Если при- менить к этому столкновению закон сохранения импульса, то мы получим три уравнения (три компоненты одного векторно- го уравнения) с шестью неизвестными — компонентами импуль- са электрона до и после столкновения. Для увеличения числа уравнений можно произвести ряд последовательных столкно- вений электрона с «измерительными» частицами и применить закон сохранения импульса к каждому из них. При этом, однако, увеличивается и число неизвестных (импульсы электрона меж- ду столкновениями), и легко сообразить, что при любом числе столкновений число неизвестных будет превышать на три число уравнений. Поэтому для измерения импульса электрона необхо- димо привлечь, наряду с законом сохранения импульса, также и закон сохранения энергии в каждом столкновении. Последний, однако, может быть применен, как мы видели, лишь с точно- стью до величины порядка Н/At, где At —время между началом и концом рассматриваемого процесса. Для упрощения дальнейших рассуждений удобно рассмо- треть идеализированный мысленный эксперимент, в котором «измерительной частицей» является идеально отражающее плос- кое зеркало; тогда играет роль лишь одна компонента импульса, перпендикулярная к плоскости зеркала. Для определения им- пульса Р частицы законы сохранения импульса и энергии дают уравнения р' + Р'-р-Р = 0, D4.3) \е' + Ё -е-Е\~-^- D4.4) (Р, Е— импульс и энергия частицы; ?>, е— тоже для зерка- ла; величины без и со штрихами относятся соответственно к моментам до и после столкновения). Величины ?>, р7, ?, е1', от- носящиеся к «измерительной частице», могут рассматриваться как известные точно, т. е. их погрешности равны нулю. Тогда для погрешностей в остальных величинах имеем из написанных уравнений АР = АР', \АЕ' - АЕ\ - —. Но АЕ = |^ДР = vAP, г) Для производимого здесь анализа несущественно, каким образом стано- вится известной энергия «измерительной» частицы. 202 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI где v — скорость электрона (до столкновения), и аналогично АЕ1 = v'AP' = v'AP. Поэтому получаем \(v'x-vx)APx\~lL. D4.5) Мы приписали здесь индексы х у скоростей и импульса, с целью подчеркнуть, что это соотношение относится к каждой из их компонент в отдельности. Это и есть искомое соотношение. Оно показывает, что изме- рение импульса электрона (при заданной степени точности АР) неизбежно связано с изменением его скорости (т. е. и самого им- пульса) . Это изменение тем больше, чем короче длится самый процесс измерения. Изменение скорости может быть сделано сколь угод- но малым лишь при At —>> ос, но измерения импульса, длящиеся в течение большого времени, вообще могут иметь смысл лишь для свободной частицы. Здесь в особенности ярко проявляется неповторимость измерения импульса через короткие промежут- ки времени и «двуликая» природа измерения в квантовой меха- нике — необходимость различать между измеряемым значением величины и значением, создаваемым в результате процесса из- мерения х). К приведенному в начале этого параграфа выводу, основан- ному на теории возмущений, можно подойти с другой точки зре- ния, применив его к распаду системы, происходящему под влия- нием какого-либо возмущения. Пусть Е$ есть некоторый уровень энергии системы, вычисленный при полном пренебрежении воз- можностью ее распада. Обозначим продолжительность жиз- ни этого состояния системы через г, т. е. величину, обратную вероятности распада в единицу времени. Тогда тем же способом найдем, что \Е0-Е-е\ ~Н/т, D4.6) где Е, е — энергии обеих частей, на которые распалась система. Но по сумме Е + е можно судить об энергии системы до рас- пада. Поэтому полученное соотношение показывает, что энергия способной к распаду системы в некотором квазистационарном состоянии может быть определена лишь с точностью до вели- чины порядка Н/т. Эту величину обычно называют шириной Г уровня. Таким образом, Г - Н/т. D4.7)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Соотношение неопределенности для энергии» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
