Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодей- ствующих частей. При полном пренебрежении взаимодействием для каждой из них справедлив закон сохранения момента им- пульса, а полный момент L всей системы можно рассматривать как сумму моментов Li и L/2 ее частей. В следующем прибли- жении при учете слабого взаимодействия законы сохранения Li и L/2 уже не выполняются строго, но определяющие их квадра- ты чисел Li и L»2 остаются «хорошими» квантовыми числами, пригодными для приближенного описания состояния системы. Наглядно, т. е. рассматривая моменты классически, можно ска- зать, что в этом приближении Li и L2 вращаются вокруг на- правления L, оставаясь неизменными по величине. В связи с рассмотрением таких систем возникает вопрос о законе сложения моментов. Каковы возможные значения L при заданных значениях L\ и L2? Что касается закона сложения для § 31 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 133 проекций момента, то он очевиден: из Lz = L\z + L2z следует, что и М = Мг + М2. C1.1) Для операторов же квадратов моментов такого простого со- отношения нет и для вывода их «закона сложения» рассуждаем следующим образом. Если выбрать в качестве полной системы физических вели- чин величины L^, L2, L\z, L2Z1), то каждое состояние будет определяться значениями чисел Li, L2, Mi, М2. При заданных L\ и L2 числа Mi, М2 пробегают соответственно по BL\ + 1) и B1/2 + 1) значений, так что всего имеется BL\ + 1)BL2 + 1) различных состояний с одинаковыми Li, I/2- Волновые функции состояний в этом описании обозначим как (pLiL2M1M2- Вместо четырех указанных величин в качестве полной си- стемы можно выбрать четыре величины L^, L2, L2, Lz. Тог- да каждое состояние будет характеризоваться значениями чи- сел Li, L2, L, М (соответствующие волновые функции обозначим как фь1ь2ьм)- При заданных L\ и L2 должно быть, разумеется, по-прежнему BLi + l)BL2 + l) различных состояний, т.е. при за- данных Li, L2 пара чисел L, М мож:ет пробегать [2Li + l)BL2 + l) пар значений. Эти значения можно определить следующими рас- су ждениями. Складывая друг с другом различные допустимые значе- ния М\ и М2, получим соответствующие значения М: Mi М2 М Li Li Li Li Li Ll -1 -1 -2 L2 L2 L2 L2 L2 L2 -1 1 J -1 1
J Li+J Ll -\- 1 Ll + J г Г 1 -j2 — i- ^2-2 Мы видим, что наибольшее возможное значение М есть М = = Li + L2, причем ему отвечает одно состояние ср (одна пара зна- чений Mi, M2). Поэтому и наибольшее возможное значение М в состояниях ф, а следовательно, и наибольшее L, есть L\ + L2. Далее, имеются два состояния ср с М = L± + L2 — 1. Следователь- но, должны быть и два состояния ф с этим значением М; одно ) И ряд других величин, которые вместе с четырьмя указанными образу- ют полную систему. Эти остальные величины не играют роли в дальнейших рассуждениях, и для краткости выражений мы о них не говорим вовсе, на- зывая условно полной систему четырех указанных величин. 134 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV из них есть состояние с L = L\ + L2 (и М = L — 1), а другое — с L = L\ + L2 — 1 (причем М = L). Для значения М = L\ + L2—2 есть три различных состояния у?. Это значит, что наряду со зна- чениями L = L\ + L2, L = L\ + L2 — 1 возможно также и значение L = Li + L2 - 2. Эти рассуждения можно продолжать в таком же виде, пока при уменьшении М на 1 увеличивается на 1 число состояний с заданным значением М. Легко сообразить, что это будет иметь место до тех пор, пока М не достигнет значения \L± — L2I. При дальнейшем уменьшении М число состояний перестанет возра- стать, оставаясь равным 2L2 + 1 (если L2 ^ L\). Это значит, что \L\ — L2I есть наименьшее возможное значение L. Таким образом, мы приходим к результату, что при задан- ных L\ и L2 число L может пробегать значения L = Li + L2, Lx + L2 - 1,..., |Lx - L2|, C1.2) всего 2L2 + 1 (считая, что L2 ^ L\) различных значений. Легко проверить, что получается действительно BL\ + 1) х xBL2 + l) различных значений пары чисел М, L. При этом существенно отметить, что (если отвлечься от 2L + 1 различных значений М при заданном L) каждому из возможных значений L C1.2) соответствует всего по одному состоянию. Этот результат можно наглядно изобразить с помощью так называемой векторной модели. Если ввести два вектора Li, L2 с длинами L\ и L2, то значения L изобразятся как целочислен- ные длины векторов L, получающихся в результате векторного сложения Li и L2; наибольшее (L\ + L2) значение L получается при параллельных, а наименьшее (|Li — L2|) —при антипарал- лельных Li и L2. В состояниях с определенными значениями моментов Li, L2 и полного момента L имеют определенные значения также и скалярные произведения LiL2, LLi, LL2. Легко найти эти зна- чения. Для вычисления LiL2 пишем L = Li + L2 или, возводя в квадрат и перенося члены, 2LxL2 = L — L-l — L^. Заменяя операторы в правой части равенства их собственными значениями, получим собственное значение оператора в левой части равенства UL2 = i{L(L + 1) - Li(Li + 1) - L2(L2 + 1)}. C1.3) Аналогичным образом найдем LLi = \{L(L + 1) + Li(Li + 1) - L2(L2 + 1)}. C1.4) § 31 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 135 Выясним теперь правило сложения четностей. Волновая функция Ф системы, состоящей из двух независимых частей, представляет собой произведение волновых функций Фх и Ф2 этих частей. Ясно поэтому, что если обе последние обладают одинаковой четностью (т. е. обе меняют или обе не меняют свой знак при изменении знака всех координат), то волновая функция всей системы будет четной. Напротив, если Фх и Ф2 обладают различной четностью, то функция Ф будет нечетной. Эти утвер- ждения можно выразить равенством Р = Р1Р2, C1-5) где Р—четность системы в целом, а Рх5 -Рг— четности ее ча- стей. Это правило, разумеется, непосредственно обобщается на случай системы, состоящей из произвольного числа невзаимо- действующих частей. В частности, если речь идет о системе частиц, находящихся в центрально-симметричном поле (причем взаимодействие частиц друг с другом можно считать слабым), то четность состояния системы в целом р _ /_1у1+/2+... /31 0ч (см. C0.7)). Подчеркнем, что здесь в показателе стоит алгебра- ическая сумма моментов частиц, вообще говоря, отличная от их «векторной суммы» т. е. момента L системы. Если замкнутая система распадается на части (под влияни- ем действующих в ней самой сил), то ее полные момент и чет- ность должны сохраняться. Это обстоятельство может сделать невозможным распад системы, даже если он возможен в энерге- тическом отношении. Рассмотрим, например, атом, находящийся в четном состо- янии с моментом L = 0, причем энергетически он мог бы рас- пасться на свободный электрон и ион в нечетном состоянии с тем же моментом L = 0. Легко видеть, что фактически та- кой распад не может произойти (будет, как говорят, запрещен). Действительно, в силу закона сохранения момента свободный электрон должен был бы тоже обладать равным нулю моментом и потому находиться в четном состоянии (Р = (—1)° = +1), но в этом случае состояние системы ион+свободный электрон было бы нечетным, между тем как первоначальное состояние атома было четным.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сложение моментов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
