Рассмотрим снова замкнутую систему частиц1), и пусть / есть любая характеризующая ее скалярная физическая вели- чина, а /—соответствующий этой величине оператор. Всякий 1) Все результаты этого параграфа справедливы и для частицы в централь- но-симметричном поле (вообще всегда, когда имеет место сохранение пол- ного момента системы). § 29 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ 125 скаляр инвариантен по отношению к повороту системы коорди- нат. Поэтому скалярный оператор / не меняется под влияни- ем операции поворота, т. е. коммутирует с оператором поворота. Но мы знаем, что оператор бесконечно малого поворота с точ- ностью до постоянного множителя совпадает с оператором мо- мента, так что ^ ^ {/,L} = 0. B9.1) Из коммутативности / с оператором момента следует, что мат- рица величины / по отношению к переходам между состояния- ми с определенными значениями L и М диагональна по этим индексам. Более того, поскольку задание числа М определя- ет лишь ориентацию системы по отношению к координатным осям, а значение скалярной величины от этой ориентации во- обще не зависит, то можно утверждать, что матричные элемен- ты (п'LM\f\nLM) не зависят от значения М (буквой п условно обозначена совокупность всех остальных, помимо L и М, кван- товых чисел, определяющих состояние системы). Формальное доказательство этого утверждения можно получить, воспользо- вавшись коммутативностью операторов / и L+: fL+ - L+f = 0. B9.2) Напишем матричный элемент этого равенства для перехода n,L,M —>> n',L,M + 1. Учитывая, что матрица величины L+ имеет только элементы с n,L,M —>• n,L,M + 1, находим (n', L, М + l|/|n, L,M + l)(n, L,M + l|L+|n, L, M) = = (ri, L,M + l|L+|n', L, M)(nf, L, M\f\n, L, M), и поскольку матричные элементы L+ не зависят от индекса п, то (п7, L,M + l|/|n, L, М + 1) = (п7, L, M\f\n, L, М), B9.3) откуда следует, что вообще все (?т/, L, M|/|n, L, М) с различны- ми М (и одинаковыми остальными индексами) равны между собой. Если применить этот результат к самому гамильтониану, то мы получим известную уже нам независимость энергии ста- ционарных состояний от М, т.е. BL + 1)-кратное вырождение энергетических уровней. Пусть, далее, А —некоторая векторная физическая величи- на, характеризующая замкнутую систему. При повороте систе- мы координат (в частности, бесконечно малом повороте, т. е. 126 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV при воздействии оператора момента) компоненты вектора пре- образуются друг через друга. Поэтому и в результате коммути- рования операторов Li с операторами А{ должны получиться вновь компоненты того же вектора А{. Какие именно — мож- но найти, замечая, что в частном случае, когда А есть ради- ус-вектор частицы, должны получиться формулы B6.4). Таким образом, находим правила коммутации: {Li,Ak} = ieiklAl. B9.4) Эти соотношения позволяют получить ряд результатов относительно формы матриц компонент вектора А (М. Борн, В. Гейзенберг, П. Иордан, 1926). Прежде всего оказывается воз- можным найти правила отбора, определяющие, для каких пере- ходов матричные элементы могут быть отличны от нуля. Мы, однако, не станем приводить здесь соответствующих, довольно громоздких, вычислений, поскольку в дальнейшем выяснится (§ 107), что эти правила являются в действительности непосред- ственным следствием общих трансформационных свойств век- торных величин и могут быть получены из них по существу без всяких вычислений. Здесь же мы приведем эти правила без вывода. Матричные элементы всех компонент вектора могут быть от- личны от нуля только для таких переходов, в которых момент L меняется не более чем на единицу: L->L,L±1. B9.5) Кроме того, имеет место дополнительное правило отбора, запре- щающее переходы между всякими двумя состояниями с L = 0; это правило является очевидным следствием полной сфериче- ской симметрии состояний с равным нулю моментом. Правила отбора по проекции момента М различны для раз- ных компонент вектора. Именно, могут быть отличны от нуля матричные элементы для переходов со следующими изменения- ми значения М: М —>> М + 1 для А+ = Ах + гАу, М -» М - 1 для Л_ = Az - гАу, B9.6) М -» М для Az. Далее, оказывается возможным определить в общем виде зависимость матричных элементов вектора от числа М. Эти важные, часто используемые формулы мы приведем здесь то- же без вывода, поскольку и они являются в действительности частным случаем более общих (относящихся к любым тензор- ным величинам) соотношений, которые будут получены в § 107. § 29 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ 127 Отличные от нуля матричные элементы величины Az опре- деляются следующими формулами: n'LM\Az\nLM) = уЛД-Ь i- J-Д^-Ь -I- L) ,L-1), B9.7) Здесь символ (n'L'\\A\\\nL) обозначает так называемые приведенные матричные элемен- ты— величины, не зависящие от квантового числа М1). Они связаны друг с другом соотношениями (riL'\\A\\nL) = (nL\\A\\riL')*, B9.8) непосредственно следующими из эрмитовости оператора Az. Через те же приведенные элементы выражаются матрич- ные элементы величин А- и А+. Отличные от нуля матричные элементы Л_ равны (n',L,M-l\A.\nLM) = {ri,L,M-l\A-\n,L-l,M) = T 1\/T\ i,L-l), B9.9) Матричные элементы А+ не требуют особых формул, поскольку в силу вещественности Ах и Ау имеем (riL'M'\A+\nLM) = (nLM\A_\ri L1 И1)*. B9.10) г) Появление в формулах B9.7), B9.9) зависящих от L знаменателей соот- ветствует общим обозначениям, введенным в § 107. Целесообразность этих знаменателей проявляется, в частности, в простом виде, который принимает формула B9.12) для матричных элементов скалярного произведения двух векторов. Символ приведенного матричного элемента надо понимать как единое це- лое (в отличие от того, что было сказано в связи с символом матричного элемента A1.17)). 128 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV Отметим формулу, выражающую матричные элементы ска- ляра АВ через приведенные матричные элементы двух вектор- ных величин А и В. Вычисление удобно производить, представив оператор АВ в виде АВ = -{А+В- + А-В+) + AZBZ. B9.11) Матрица величины АВ (как и всякого скаляра) диагональна по L и М. Вычисление с помощью B9.7)-B9.9) приводит к ре- зультату: (n'LM\AB\nLM) = ^ Y, (n'L\\A\\n"L")(n"L"\\B\\nL), n",L" B9.12) где L" пробегает значения L, L ± 1. Выпишем, для справок, приведенные матричные элементы для самого вектора L. Из сравнения формул B9.9) и B7.12) на- ходим (L\\L\\L) = / (L-1\\L\\L) = {L\\L\\L-1) = O. B9.13) Часто встречающейся в применениях величиной является единичный вектор п в направлении радиуса-вектора частицы; найдем его приведенные матричные элементы. Для этого доста- точно вычислить, например, матричные элементы от nz = cos 9 при равной нулю проекции момента: т = 0. Имеем 7Г (/- l,0|nz|/0) = / 6*_ljO cos в- в/о sin 9d6 о с функциями в/о из B8.11). Вычисление интеграла приводит к результатуг) (Z-l,O|nJZO) = й v/BZ-l)BZ + l) Матричные же элементы для переходов / —>> / равны нулю (как и для всякого полярного вектора, относящегося к отдельной ча- стице—см. ниже C0.8)). Сравнение с B9.7) дает теперь (/ - 1||п||/) = -(/||п||/ - 1) = iVl, (l\\n\\l) = 0. B9.14)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Матричные элементы векторов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
