Рассмотрим движение частицы в однородном внешнем поле. Направление поля выберем в качестве оси ж, и пусть F есть си- ла, действующая в поле на частицу; в электрическом поле на- пряженности Е эта сила равна F = еЕ, где е — заряд частицы. Потенциальная энергия частицы в однородном поле имеет вид U = — Fx + const; выбирая постоянную так, чтобы было U = 0 при х = 0, имеем U = — Fx. Уравнение Шредингера рассматриваемой задачи имеет вид 0 | O. B4.1) Поскольку U стремится к +ос при х —>- — ос и С/ —>- —ос при х —>> ос, то заранее очевидно, что уровни энергии образу- ют непрерывный спектр, заполняющий весь интервал значений от —ос до + ос. Все эти собственные значения не вырождены и 104 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III соответствуют движению, финитному со стороны х = — ос и ин- финитному в направлении х —>• +ос. Введем вместо координаты х безразмерную переменную Тогда уравнение B4.1) принимает вид <ф" + ?ф = 0. B4.3) Это уравнение вовсе не содержит параметра энергии. Поэтому, получив его решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, мы тем самым получим собственную функцию для произвольных значений энергии. Решение уравнений B4.3), конечное при всех ж, имеет вид (см. § b математических дополнений) ^(О = АФ(-?), B4.4) где = — / cosf — + и?) Утг J V3 J du есть так называемая функция Эйри, а А — нормировочный мно- житель, который мы определим ниже. При ? —>> — ос функция 1р(?) стремится к нулю экспоненциаль- но. Асимптотическое выражение, определяющее ^@ ПРИ боль- ших по абсолютной величине отрицательных значениях ?, имеет вид (см. (Ь.4)) () B45) При больших же положительных значениях ? асимптотическое выражение функции ф(?) будет следующим (см. (Ь.5I)): B4.6) Согласно общему правилу E.4) нормировки собственных функций непрерывного спектра, приведем функции B4.4) к нор- мированному на (^-функцию от энергии виду + ОО B4.7) ) Отметим, забегая вперед, что асимптотические выражения B4.5) и B4.6) как раз соответствуют квазиклассическим выражениям волновой функции в классически недоступной и доступной областях (§47). § 25 КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ 105 В § 21 был указан простой способ определения нормировоч- ного коэффициента с помощью асимптотического выражения волновых функций. Следуя этому способу, представляем функ- цию B4.6) в виде суммы двух бегущих волн: Плотность потока, вычисленная для каждого из этих двух чле- нов, есть V Приравняв ее 1/BтгЯ), находим Л B™)/ B48)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в однородном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
