Рассмотрим частицу, совершающую одномерные малые коле- бания (так называемый линейный осциллятор). Потенциальная энергия такой частицы равна ти;2х2/2, где со —в классической механике собственная частота колебаний. Соответственно этому, гамильтониан осциллятора 2т 2 У J Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при х = ±ос, то частица может совершать лишь финитное дви- жение. В соответствии с этим весь энергетический спектр осцил- лятора будет дискретным. Определим уровни энергии осциллятора с помощью матрич- ного методах). Будем исходить из уравнений движения в фор- ме A9.3); в данном случае они дают x + uj2x = 0. B3.2) В матричном виде это уравнение имеет вид х)Это было сделано Гейзенбергом A925) еще до открытия Шредингером волнового уравнения. 96 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III Для матричных элементов ускорения имеем, согласно A1.8), (х)тп = iumn(x)mn = -^пжш. Поэтому получаем {и2тп - и;2)хтп = 0. Отсюда видно, что равны нулю все матричные элементы жтп, за исключением тех, для которых оотп = ±cj. Пронумеруем все стационарные состояния таким образом, чтобы частоты ±w со- ответствовали переходам п —>• n =F 1, т.е. иоп,п-=^1 — =Ь^- Тогда отличными от нуля матричными элементами будут лишь xn^nTi. Будем предполагать, что волновые функции фп выбраны вещественными. Поскольку х есть величина вещественная, то такими же будут и все матричные элементы хтп. Условие эр- митовости A1.10) приводит теперь к тому, что матрица хтп симметрична: Для вычисления отличных от нуля матричных элементов ко- ординаты воспользуемся правилом коммутации хх = хх = —г —, т написав его в матричном виде ) \ХХ )гпп ТП С помощью правила умножения матриц A1.12) имеем отсюда для т = п 2 _ _._й п т I I В этой сумме отличны от нуля только члены с / = п ± 1, так что получаем (жп+1,пJ - (жп,п_1J = -^-. B3.3) Из этого равенства видно, что величины (жп+]_?пJ образу- ют арифметическую прогрессию, неограниченную сверху, но непременно ограниченную снизу, так как в ней могут содер- жаться только положительные члены. Поскольку мы пока уста- новили только относительное расположение номеров состояний п, но не их абсолютные значения, то мы можем произвольно вы- брать значение п, соответствующее первому — нормальному — состоянию осциллятора. Положим его равным нулю. Соответ- ственно этому жо,-1 надо считать тождественно равным нулю, § 23 ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 97 и последовательное применение уравнений B3.3) с п = 0,1,... приводит к результату: пН \%п,п—1) — 2тио Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для отличных от нуля матричных элементов координатыг): B3.4) Матрица оператора Н диагональна и матричные элемен- ты Нпп представляют собой искомые собственные значения энергии Еп осциллятора. Для их вычисления имеем Н-пп = -Е^п = ~I~L\^ )пп Л~ Ш \Х )пп\ = — ™ \\^ ' ' _l 2 2 |_^—' п п п п I I I В сумме по / отличны от нуля только члены с / = п ± 1; подста- вляя B3.4), получаем Еп = (п + \/2)Пы, п = 0,1, 2,... B3.5) Таким образом, уровни энергии осциллятора расположены через равные интервалы ?ъио. Энергия нормального состояния (п = 0) равна Huj/2] подчеркнем, что она оказывается отличной от нуля. Результат B3.5) можно получить и путем решения уравнения Шредингера. Это уравнение для осциллятора имеет вид B3.6) Здесь удобно ввести вместо координаты х безразмерную пере- менную ? согласно соотношению ) Мы выбираем неопределенные фазы ап (см. примеч. на с. 52) таким образом, чтобы получить во всех матричных элементах B3.4) знак + перед корнем. Такой выбор всегда возможен для матрицы, в которой отличны от нуля только элементы для переходов между состояниями с соседними номерами. 98 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III Тогда получим уравнение (^е) = 0. B3.8) (Здесь штрих означает дифференцирование по ?.) При больших ? можно опустить 2Е/Ноо по сравнению с ?2; уравнение ф" = ^2ф имеет асимптотические интегралы ф = = е^ /2. (Дифференцирование этой функции действительно да- ет, при пренебрежении членами более низкого порядка по ?, Ф" — ?,2Ф-) Поскольку волновая функция ф должна оставаться при ? = ±ос конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус. В связи с этим естественно сделать в уравнении B3.8) подстановку Ф = е~* /2Х(О- B3-9) Для функции х@ получаем уравнение (вводим обозначение 2Е/Ни — 1 = 2п; поскольку нам заранее известно, что Е > О, то п > -1/2) X" " 2?х'+ 2пХ = 0, B3.10) причем функция % должна быть конечной при всех конечных ?, а при ^ = ±оо мож:ет обращаться в бесконечность не быстрее конечной степени ? (так, чтобы функция ф обращалась в нуль). Такие решения уравнения B3.10) существуют лишь при це- лых положительных (включая значение нуль) значениях чис- ла п (см. §а математических дополнений); это дает для энергии известные уже нам собственные значения B3.5). Соответствую- щие различным целым значениям п решения уравнения B3.10) имеют вид X = const -#n(f), где Нп(?) —так называемые полиномы Эрмита, представляющие собой полиномы п-й степени по ?, определяемые формулой Яп@ = (-1)п^2^. B3.11) Определяя const так, чтобы функции фп удовлетворяли условию нормировки / получим (см. (а.7)) Ч^И/^)- B3Л2> § 23 ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 99 Так, волновая функция нормального состояния есть B3-13) Как и следовало ожидать, она не имеет нулей при конечных х. Вычисляя интегралы J фпфт^ с??, можно определить мат- — оо ричные элементы координаты; такое вычисление приводит, разумеется, к тем же значениям B3.4). В заключение покажем, каким образом можно вычислить волновые функции фп матричным методом. Замечаем, что в матрицах операторов х ± iuox отличны от нуля только элементы (х - iujx)n-i,n = -(х + 1ых)щп-1 = -%а . B3.14) у ТП Исходя из общей формулы A1.11) и учитывая, что ф-i = О, получаем (х — шх)фо = 0. J- 7 После подстановки выражения х = —г получаем отсюда m dx уравнение dp хфо> ах п нормированное решение которого есть B3.13). Далее, поскольку /С* , • ^\ / / • . • \ / • [X + lUXIpn-i = [X + lUX)nn-i1pn = Ъ у m получаем рекуррентную формулу / / m ( П d , \ , 1 / d у 2иНп \ m dx J \J2n \ d? =( \J2n \ e n-кратное применение которой к функции B3.13) приводит к вы- ражению B3.12) для нормированных функций фп.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Линейный осциллятор» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
