Если потенциальная энергия частицы зависит только от од- ной координаты ж, то волновую функцию можно искать в виде произведения функции у, z на функцию только х. Из них первая определяется уравнением Шредингера свободного движения, а вторая — одномерным уравнением Шредингера dx2 Н2 К таким же одномерным уравнениям приводится, очевидно, за- дача о движении в поле с потенциальной энергией U(x,y,z) = = Ui(x) + U2(y) + U^(z)^ разбивающейся на сумму функций, каж- дая из которых зависит только от одной из координат. В § 22-24 мы рассмотрим ряд конкретных примеров такого «одномерно- го» движения. Здесь же мы предварительно выясним некоторые общие его свойства. Прежде всего покажем, что в одномерной задаче все энерге- тические уровни дискретного спектра не вырождены. Для дока- зательства предположим противное, и пусть ф\ и ^2"Две раз- личные собственные функции, соответствующие одному и тому же значению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному и тому же уравнению B1.1), то имеем или ф'{ф2 —Ф1Ф2 — 0 (штрих означает дифференцирование по х). Интегрируя это соотношение, находим Ф'лФъ — Флф'о = const. B1.2) ОО УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III Поскольку на бесконечности ф\ = 1р2 — О, то const должна быть равной нулю, так что ^1^2 - Ф2ф[ = О, или ipi/ipi = ф^/Фз- Интегрируя еще раз, получим ф\ = const •гф2, т. е. обе функции по существу совпадают. Для волновых функций фп(х) дискретного спектра может быть высказана следующая (так называемая осцилляционная) теорема: функция фп(х), соответствующая п + 1-му по величине собственному значению Еп, обращается в нуль (при конечных значениях х) п раз1). Будем считать, что функция U(х) стремится при х —>• ±ос к конечным пределам (но отнюдь не должна быть монотонной функцией). Предел С/(+ос) примем за начало отсчета энергии (т.е. положим U(+oo) = 0), a U(—ос) обозначим через Uq и бу- дем считать, что Uq > 0. Дискретный спектр лежит в области таких значений энергии, при которых частица не может уйти на бесконечность; для этого энергия должна быть меньше обоих пределов С/(+ос), т.е. должна быть отрицательной: Е < 0, B1.3) при этом, конечно, во всяком случае должно быть Е > C/min, т. е. функция U(x) должна иметь по крайней мере один минимум с C/min < 0. Рассмотрим теперь область положительных значений энер- гии, меньших чем Щ: 0<Е <U0. B1.4) В этой области спектр будет непрерывным, а движение частицы в соответствующих стационарных состояниях— инфинитным, причем частица уходит в сторону х = +ос. Легко видеть, что все собственные значения энергии в этой части спектра тоже не вырождены. Для этого достаточно заметить, что для приведен- ного выше (для дискретного спектра) доказательства достаточ- но, чтобы функции ^i, ip2 обращались в нуль хотя бы на одной из бесконечностей (в данном случае они обращаются в нуль при х —>> —ос). При достаточно больших положительных значениях х в урав- нении Шредингера B1.1) можно пренебречь U(x): ф" + *?Щ = 0. ) Если частица может находиться лишь на ограниченном отрезке оси ж, то надо говорить о нулях функции фп(х) внутри этого отрезка. § 21 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ 89 Это уравнение имеет вещественные решения вида стоячей плос- кой волны ф = acos(kx + о), B1.5) где а, д — постоянные, а «волновой вектор» к = р/Н = л/ЪпЁ/Н. Этой формулой определяется асимптотический вид (при х —>• +ос) волновых функций невырожденных уровней энергии на участке B1.4) непрерывного спектра. При больших отрица- тельных значениях х уравнение Шредингера принимает вид Решение, не обращающееся при ж —> — оо в бесконечность, есть ф = Ье*х, к = -y/2m(U0-E). B1.6) а Это есть асимптотический вид волновой функции при х —>> — ос. Таким образом, волновая функция экспоненциально затухает в глубь области, где Е < Щ. Наконец, при д > щ ^_?) спектр будет непрерывным, а движение — инфинитным в обе сто- роны. В этой части спектра все уровни двукратно вырождены. Это следует из того, что соответствующие волновые функции определяются уравнением второго порядка B1.1), причем оба независимых решения этого уравнения удовлетворяют должным условиям на бесконечности (между тем как, например, в преды- дущем случае одно из решений обращалось при ж ч -оо в бес- конечность и потому должно было быть отброшено). Асимпто- тический вид волновой функции при х —>- +оо есть ф = aieikx + a2e~ikx B1.8) и аналогично для х —>• — ос. Член с егкх соответствует частице, движущейся вправо, а член с е~кх —частице, движущейся влево. Предположим, что функция U(x) — четная (U(—x) = U(x)). Тогда при изменении знака координаты уравнение Шрединге- ра B1.1) не меняется. Отсюда следует, что если ф(х) есть неко- торое решение этого уравнения, то ф(—х) тоже есть решение, совпадающее с ф(х) с точностью до постоянного множителя: ip(—x) = сф(х). Меняя знак х еще раз, получим ip(x) = с2ф(х), откуда с = ±1. Таким образом, при симметричной (относительно точки х = 0) потенциальной энергии волновые функции стаци- онарных состояний могут быть либо четными (ф(—х) = ф(х)). 90 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III либо нечетными (ip(—x) = — ф(х)I). В частности, волновая функция основного состояния четна: действительно, она не мо- жет иметь узлов, а нечетная функция во всяком случае обраща- ется в нуль при х = 0 (ф@) = —ф@) = 0). Для нормировки волновых функций одномерного движения (в непрерывном спектре) существует простой способ, позволяю- щий определить нормировочный коэффициент непосредственно по асимптотическому выражению волновой функции для боль- ших значений |ж|. Рассмотрим волновую функцию движения, инфинитного в одну сторону (х —>> +оо). Нормировочный интеграл расходится при х —>• оо (при х —>• — ос функция экспоненциально затухает, так что интеграл быстро сходится). Поэтому при определении нормировочной постоянной можно заменить ф ее асимптотиче- ским значением (для больших х > 0) и производить интегриро- вание, выбрав в качестве нижнего предела любое конечное зна- чение ж, скажем, нуль; это сводится к пренебрежению конечной величиной по сравнению с бесконечно большой. Покажем, что волновая функция, нормированная условием ;Фр> dx = &(^?) = 2жЩр-р') B1.9) (р — импульс частицы на бесконечности), должна иметь асим- птотический вид B1.5) с коэффициентом а = 2: + S) = е*(**+*) + е-*№+*)л B1.10) Поскольку мы не имеем в виду проверять взаимную ортогональ- ность функций, соответствующих различным р, то при подста- новке функций B1.10) в нормировочный интеграл считаем им- пульсы р и р1 сколь угодно близкими; поэтому можно положить S = Sr E является, вообще говоря, функцией р). Далее, в подын- тегральном выражении оставляем лишь те члены, которые при р = р' расходятся; другими словами, опускаем члены, содержа- щие множители е±г(к+к )ж. Таким образом, получаем оо оо оо Г<ф$'фр,Aх= fe^kf-k^xdx+ fe-^kf-k^xdx= I e^'-^dx, 0 0 -оо что в силу A5.7) совпадает с B1.9). ) В этих рассуждениях предполагается, что стационарное состояние не вырождено, т. е. не инфинитно в обе стороны. В противном случае, при из- менении знака х две волновые функции, относящиеся к данному уровню энергии, могут преобразовываться друг через друга. Однако в этом случае §22 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА 91 Переход к нормировке на ^-функцию от энергии совершается, согласно E.14), умножением фр на /d(p/27r/i)\1/2= 1 V dE J y27rHv где v — скорость частицы на бесконечности. Таким образом, B1.11) Заметим, что плотность потока в каждой из двух бегущих волн, на которые разделяется стоячая волна B1.11), равна 1/{2тгН). Таким образом, можно сформулировать следующее правило для нормировки волновой функции инфинитного в одну сторо- ну движения на (^-функцию от энергии: представив асимптотиче- ское выражение волновой функции в виде суммы двух бегущих в противоположные стороны плоских волн, надо выбрать норми- ровочный коэффициент таким образом, чтобы плотность потока в волне, бегущей по направлению к началу координат (или в на- правлении от начала координат), была равна 1/BтгН). Аналогичным образом можно получить такое же правило для нормировки волновых функций движения, инфинитного в обе стороны. Волновая функция будет нормирована на 5-функ- цию от энергии, если сумма потоков в волнах, бегущих по напра- влению к началу координат с положительной и отрицательной сторон оси ж, равна 1/BтгН).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Общие свойства одномерного движения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
