Условия, которым должны удовлетворять решения уравне- ния Шредингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волновая функция должна быть однозначной и непрерывной во 78 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле U(x,y,z) имеет поверхности раз- рыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность по- следних, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U = ос, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ф = 0. Непрерывность ф требует, чтобы на границе этой области ф обращалось в нуль; производные же от ф в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок. Если поле U(x,y,z) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем про- странстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро — как l/rs с s < 2 (см. также §35). Пусть C/min есть минимальное значение функции U(x,y,z). Поскольку гамильтониан частицы есть сумма двух членов — операторов кинетической Т и потенциальной U энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сум- ме Е = Т + U. Но так как все собственные значения опера- тора Т (совпадающего с гамильтонианом свободной частицы) положительны, то и среднее значение Т > 0. Имея также в ви- ду очевидное неравенство U > Um[n, найдем, что и Е > иш[п. Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии Еп > Umin. A8.1) Рассмотрим частицу, движущуюся в силовом поле, исчезаю- щем на бесконечности; функцию [/(ж,?/, z\ как обычно принято, определим так, чтобы на бесконечности она обращалась в нуль. Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет тогда дискретным, т. е. все состояния с Е < 0 в исчезающем на бесконечности поле являются связанными. Дей- ствительно, в стационарных состояниях непрерывного спектра, соответствующих инфинитному движению, частица находится на бесконечности (см. §10). Но на достаточно больших рассто- яниях наличием поля можно пренебречь, и движение частицы может рассматриваться как свободное; при свободном же дви- жении энергия может быть только положительной. Напротив, положительные собственные значения образуют непрерывный спектр и соответствуют инфинитному движению; при Е > 0 уравнение Шредингера, вообще говоря, не имеет § 18 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 79 (в рассматриваемом поле) решений, для которых бы интеграл f \ф\2 dV сходился1). Обратим внимание на то, что в квантовой механике при фи- нитном движении частица может находиться и в тех областях пространства, в которых Е < С/, вероятность \ф\2 нахождения частицы хотя и стремится быстро к нулю в глубь такой обла- сти, но на всех конечных расстояниях все же отлична от нуля. В этом отношении имеется принципиальное отличие от клас- сической механики, в которой частица вообще не может про- никнуть в область, где U > Е. В классической механике невоз- можность проникновения в эту область связана с тем, что при Е < U кинетическая энергия была бы отрицательной, т. е. ско- рость—мнимой. В квантовой механике собственные значения кинетической энергии тоже положительны; тем не менее мы не приходим здесь к противоречию, так как если процессом из- мерения частица локализуется в некоторой определенной точке пространства, то в результате этого же процесса состояние ча- стицы нарушается таким образом, что она вообще перестает обладать какой-либо определенной кинетической энергией. Если во всем пространстве U(x,y,z) > 0 (причем на беско- нечности U —>• 0), то в силу неравенства A8.1) имеем Еп > 0. Поскольку, с другой стороны, при Е > 0 спектр должен быть непрерывным, то отсюда следует, что в рассматриваемом случае дискретный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только ин- финитное движение частицы. Предположим, что U в некоторой точке (которую выберем в качестве начала координат) обращается в —ос по закону U « -a/rs, a>0. A8.2) Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой области (радиуса г о) вокруг начала координат и равную ну- лю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в таком волновом пакете порядка г о; поэтому неопределенность в значении импульса ~ H/rQ. Среднее значение кинетической энергии в этом состоянии порядка величины Н2/тг^ а среднее значение потенциальной энергии порядка —а/г$. Предположим сначала, что s > 2. Тогда сумма Н2/тг$ — а/г$ при достаточно малых го принимает сколь угодно большие по абсолютной вели- чине отрицательные значения. Но если средняя энергия может принимать такие значения, то это во всяком случае означает, что существуют отрицательные собственные значения энергии, г)С чисто математической точки зрения надо, однако, оговориться, что при некоторых видах функции U(x, у, z) (не имеющих физического значе- ния) из непрерывного спектра может выпадать дискретный набор значений. 80 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III сколь угодно большие по абсолютной величине. Уровням энер- гии с большим \Е\ соответствует движение частицы в очень ма- лой области пространства вокруг начала координат. «Нормаль- ное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в самом начале координат, т. е. произойдет «падение» частицы в точку г = 0. Если же s < 2, то энергия не может принимать сколь угод- но больших по абсолютной величине отрицательных значений. Диагональный спектр начинается с некоторого конечного отри- цательного значения. Падения частицы на центр в этом случае не происходит. Обратим внимание на то, что в классической ме- ханике падение частицы на центр в принципе возможно во вся- ком поле притяжения (т. е. при любом положительном s). Случай 5 = 2 будет рассмотрен особо в § 35. Далее, исследуем характер энергетического спектра в зави- симости от поведения поля на больших расстояниях. Предпо- ложим, что при г —>> ос потенциальная энергия, будучи от- рицательной, стремится к нулю по степенному закону A8.2) (в этой формуле теперь г велико). Рассмотрим волновой пакет, «заполняющий» шаровой слой большого радиуса го и толщины Аг <С го- Тогда снова порядок величины кинетической энер- гии будет Н2/т(АгJ, а потенциальной: —а/г$. Будем увеличи- вать го, увеличивая одновременно и Аг (так, чтобы Аг росло пропорционально vq). Если s < 2, то при достаточно больших г о сумма Н2/m(ArJ — сх/r^ станет отрицательной. Отсюда следу- ет, что существуют стационарные состояния с отрицательной энергией, в которых частица может с заметной вероятностью находиться на больших расстояниях от начала координат. Но это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолют- ной величине отрицательные уровни энергии (надо помнить, что в области пространства, где U > Е, волновые функции быстро затухают). Таким образом, в рассматриваемом случае дискрет- ный спектр содержит бесконечное множество уровней, которые сгущаются по направлению к уровню Е = 0. Если же на бесконечности поле спадает, как — l/rs с s > 2, то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным от нуля абсолютным значением, так что общее число уровней конечно. Уравнение Шредингера для волновых функций ф стационар- ных состояний, как и накладываемые на его решения условия,— вещественно. Поэтому его решения всегда могут быть выбра- ны вещественнымих). Что касается собственных функций невы- ) Это не справедливо для систем, находящихся в магнитном поле. § 19 ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА 81 рожденных значений энергии, то они автоматически оказыва- ются вещественными с точностью до несущественного фазового множителя. В самом деле, ф* удовлетворяет тому же уравне- нию, что и ф, и потому тоже есть собственная функция для то- го же значения энергии; поэтому если это значение не вырож- дено, то ф и ф* должны быть по существу одинаковыми, т. е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем, равным единице). Волновые же функции, соответствующие од- ному и тому же вырожденному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем соответствующего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных функ- ций. Полные же (зависящие от времени) волновые функции Ф определяются уравнением, в коэффициенты которого входит г. Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить t на -t и одновременно перейти к комплексно сопряженномух). Поэтому можно всегда выбрать функции Ф такими, чтобы Ф и Ф* отличались только знаком у времени. Как известно, уравнения классической механики не меняются при обращении времени, т. е. при изменении его знака. В кванто- вой механике симметрия по отношению к обоим направлениям времени выражается, как мы видим, в неизменности волново- го уравнения при изменении знака t и одновременной замене Ф на Ф*. Надо, однако, помнить, что эта симметрия относится здесь только к уравнениям, но не к самому понятию измерения, играю- щему фундаментальную роль в квантовой механике (как об этом подробно шла речь в § 7).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Основные свойства уравнения Шредингера» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
