Рассмотрим некоторую физическую величину /, характери- зующую состояние квантовой системы. Строго говоря, в ниже- следующих рассуждениях следовало бы говорить не об одной величине, а сразу о целом полном их наборе. Однако все рас- суждения от этого по существу не меняются, и в целях краткости и простоты мы говорим ниже всего лишь об одной физической величине. Значения, которые может принимать данная физическая величина, называют в квантовой механике ее собственными значениями, а об их совокупности говорят как о спектре соб- ственных значений данной величины. В классической механике величины пробегают, вообще говоря, непрерывный ряд значений. В квантовой механике тоже существуют физические величины (например, координаты), собственные значения которых запол- няют непрерывный ряд; в таких случаях говорят о непрерывном спектре собственных значений. Наряду с этими величинами в квантовой механике существуют, однако, и другие, собственные значения которых образуют некоторый дискретный набор; в та- ких случаях говорят о дискретном спектре. Будем считать сначала для простоты, что рассматриваемая величина / обладает дискретным спектром; случай непрерыв- ного спектра рассмотрен в § 5. Собственные значения величи- ны / обозначим как /п, где индекс п пробегает значения 0, 1, 2, 3, ... Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в ко- тором величина / имеет значение /п, через Фп. Волновые функ- ции Фп называют собственными функциями данной физической величины /. Каждая из этих функций предполагается нормиро- ванной, так что j2 C.1) Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией Ф, то произведенное над нею измерение величины / даст в результате одно из собственных значений fn. § 3 ОПЕРАТОРЫ 23 В соответствии с принципом суперпозиции молено утверждать, что волновая функция Ф должна представлять собой линейную комбинацию тех из собственных функций Фп, которые соответ- ствуют значениям /п, могущим быть обнаруженными с отлич- ной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над системой, находящейся в рассматриваемом состоянии. Поэтому в общем случае произвольного состояния функция Ф может быть представлена в виде ряда C.2) где суммирование производится по всем п, а ап — некоторые по- стоянные коэффициенты. Таким образом, мы приходим к выводу, что всякая волновая функция может быть, как говорят, разложена по собственным функциям любой физической величины. О системе функций, по которым можно провести такое разложение, говорят как о пол- ной системе функций. Разложение C.2) дает возможность определить вероятности обнаружения (путем измерений) у системы в состоянии с волно- вой функцией Ф того или иного значения fn величины /. Дей- ствительно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, эти вероятности должны определяться некоторыми билинейными по Ф и Ф* выражениями и потому должны быть билинейными по ап и а^. Далее, эти выражения, разумеется, должны быть положительными. Наконец, вероятность значения fn должна обращаться в единицу, если система находится в состоянии с волновой функцией Ф = Фп, и должна обращаться в нуль, ес- ли в разложении C.2) волновой функции Ф отсутствует член с данной Фп. Единственной существенно положительной величи- ной, удовлетворяющей этому условию, является квадрат модуля коэффициента ап. Таким образом, мы приходим к результату, что квадрат модуля |ап|2 каждого из коэффициентов разложе- ния C.2) определяет вероятность соответствующего значения fn величины / в состоянии с волновой функцией Ф. Сумма вероят- ностей всех возможных значений fn должна быть равна единице; другими словами, должно иметь место соотношение (з.з) Если бы функция Ф не была нормирована, то не имело бы места также и соотношение C.3). Сумма ^2п \ап\2 должна была бы при этом определяться некоторым выражением, билинейным по Ф и Ф* и обращающимся в единицу при нормированном Ф. 24 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I Таковым является только интеграл J ФФ* dq. Таким образом, должно иметь место равенство /^. C-4) С другой стороны, умножив на Ф разложение Ф* = ^п <^Ф* комплексно сопряженной с Ф функции Ф* и проинтегрировав, получим Сравнивая это с C.4), имеем откуда находим следующую формулу, определяющую коэффи- циенты ап разложения функции Ф по собственным функци- ям Фг,: гФ*с^. C.5) Если подставить сюда C.2), то получим J откуда видно, что собственные функции должны удовлетворять условиям где 5пгп = 1 при п = m и 5пгп = 0 при п ф т. О факте обращения в нуль интегралов от произведений ФтФ^ с т ф п говорят как о взаимной ортогональности функций Фп. Таким образом, со- вокупность собственных функций Фп образует полную систему нормированных и взаимно ортогональных (или, как говорят для краткости, — ортонормированных) функций. Введем понятие о среднем значении f величины / в данном состоянии. Соответственно обычному определению средних зна- чений определим / как сумму всех собственных значений fn данной величины, умноженных каждое на соответствующую § 3 ОПЕРАТОРЫ 25 вероятность |ап|2: _ / = 5]/п|а„|2. C.7) П Запишем / в виде выражения, которое содержало бы не ко- эффициенты разложения функции Ф, а самую эту функцию. По- скольку в C.7) входят произведения апа^^ то ясно, что искомое выражение должно быть билинейным по Ф и Ф*. Введем некото- рый математический оператор, который мы обозначим как f1), и определим следующим образом. Пусть (/Ф) обозначает резуль- тат воздействия оператора / на функцию Ф. Мы определим / так, чтобы интеграл от произведения (/Ф) на комплексно сопря- женную функцию Ф* был равен среднему значению /: C.8) Легко видеть, что в общем случае оператор / представляет собой некоторый линейный2) интегральный оператор. Действи- тельно, воспользовавшись выражением C.5) для ап, мы можем переписать определение C.7) среднего значения в виде anfn*n) dq. Сравнивая с C.8), мы видим, что результат воздействия опера- тора / на функцию Ф имеет вид (/Ф) = ^>П/ПФП. C.9) Если подставить сюда выражение C.5) для ап, то мы найдем, что / есть интегральный оператор вида (/Ф)= jK(q,q')V(q')dq', C.10) где функция K(q,qf) (так называемое ядро оператора) есть nK(№n{q). C.11) г) Мы условимся обозначать везде операторы буквами со шляпкой. 2) Линейным называется оператор, обладающий свойствами: /(^i +Ф2) = = /Ф1 + /Ф2, /(^Ф) = а/Ф, где Фх, Ф2 — произвольные функции, а а — произвольная постоянная. 26 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике приводится в соответствие определенный линейный оператор. Из C.9) видно, что если функцией Ф является одна из соб- ственных функций Фп (так что все ап, кроме одного, равны ну- лю), то в результате воздействия на нее оператора / эта функция просто умножается на собственное значение /пх): /Фп = /ПФП. C.12) Таким образом, собственные функции данной физической ве- личины / являются решениями уравнения где /—постоянная, а собственные значения—это те значения постоянной /, при которых написанное уравнение имеет реше- ния, удовлетворяющие требуемым условиям. Как мы увидим ни- же, вид операторов для различных физических величин может быть определен из прямых физических соображений, и тогда указанное свойство операторов дает возможность находить соб- ственные функции и собственные значения посредством решения уравнений /Ф = /Ф. Как собственные значения вещественной физической величи- ны, так и ее средние значения во всяком состоянии — веществен- ны. Это обстоятельство накладывает определенное ограничение на свойства соответствующих операторов. Приравняв выраже- ние C.8) комплексно ему сопряженному, получим соотношение C.13) где /* обозначает оператор, комплексно сопряженный с /2). Для произвольного линейного оператора такое соотношение, во- обще говоря, не имеет места, так что оно представляет собой некоторое ограничение, накладываемое на возможный вид опе- раторов /. Для произвольного оператора / можно указать, как говорят, транспонированный с ним оператор /, определяемый ) Ниже мы будем везде, где это не может привести к недоразумению, опускать скобки в выражении для (/Ф), причем оператор предполагается действующим на написанное вслед за ним выражение. 2)По определению, если для оператора / имеем /ф = (р, то комплекс- но сопряженным оператором /* будет оператор, для которого имеет место ? § 3 ОПЕРАТОРЫ 27 так, чтобы J*(fV)dq = Jv(f$)dq, C.14) где Ф, Ф — две различные функции. Если выбрать в качестве функции Ф сопряженную с Ф функцию Ф*, то сравнение с C.13) показывает, что должно быть /= /*• C-15) Операторы, удовлетворяющие этому условию, называют эрми- товыми1) . Таким образом, операторы, соответствующие в ма- тематическом аппарате квантовой механики вещественным фи- зическим величинам, должны быть эрмитовыми. Формально можно рассматривать также и комплексные фи- зические величины, т. е. величины, собственные значения кото- рых комплексны. Пусть / есть такая величина. Тогда можно ввести комплексно сопряженную с ней величину /*, собствен- ные значения которой комплексно сопряжены с собственными значениями /. Оператор, соответствующий величине /*, обо- значим через /+. Его называют сопряженным оператору / и его необходимо, вообще говоря, отличать от комплексно сопря- женного оператора /*. Действительно, по определению операто- ра /+, среднее значение величины /* в некотором состоянии Ф есть С другой стороны, имеем G)* = [У Ф*/Фdq\ = I Ф/*Ф* dq = I Ф*/*Фdq. Приравняв оба выражения, найдем, что /+ = Г, (зле) откуда ясно, что /+, вообще говоря, не совпадает с /*. Условие C.15) можно написать теперь в виде / = /+, C-17) х)Для линейного интегрального оператора вида C.10) условие эрмито- вости означает, что ядро оператора должно быть таким, чтобы K(q,q') = 28 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I т. е. оператор вещественной физической величины совпадает со своим сопряженным (эрмитовы операторы называют также са- мосопряженными) . Покажем, каким образом можно непосредственно доказать взаимную ортогональность собственных функций эрмитова опе- ратора, соответствующих различным собственным значениям. Пусть fn, fm — два различных собственных значения веществен- ной величины /, а Фп, Фт — соответствующие им собственные функции: ^ ^ /Фп = /А, /Фт = /тФт- Умножив обе части первого из этих равенств на Ф^, а равенство, комплексно сопряженное второму, — на Фп и, вычтя эти произ- ведения почленно друг из друга, получим Проинтегрируем обе части этого равенства по dq. Поскольку /* = /, то в силу C.14) интеграл от левой части равенства обра- щается в нуль, так что получим откуда, ввиду fn ф /т, следует искомое свойство ортогонально- сти функций Фп и Фш. Мы все время говорим здесь только об одной физической величине /, между тем как следовало бы говорить, как было отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно измеримых физических величин. Тогда мы нашли бы, что каж- дой из этих величин /, g, ...соответствует свой оператор /, g, ... Собственные функции Фп соответствуют состояниям, в которых все рассматриваемые величины имеют определенные значения, т. е. соответствуют определенным наборам собствен- ных значений fn, gn, ... и являются совместными решениями системы уравнений /Ф = /Ф,
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Операторы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
