Радикальное изменение физических представлений о движе- нии в квантовой механике по сравнению с классической требует, естественно, и столь же радикального изменения математическо- го аппарата теории. В этой связи прежде всего возникает вопрос о способе описания состояния в квантовой механике. Условимся обозначать буквой q совокупность координат квантовой системы, a dq—произведение дифференциалов этих координат (его называют элементом объема конфигурационно- го пространства системы); для одной частицы dq совпадает с элементом объема dV обычного пространства. Основу математического аппарата квантовой механики со- ставляет утверждение, что состояние системы может быть описа- но определенной (вообще говоря, комплексной) функцией координат Ф(д), причем квадрат модуля этой функции определя- ет распределение вероятностей значений координат: |Ф|2с?д есть 20 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе dq конфигурацион- ного пространства. Функция Ф называется волновой функцией системыг). Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить вероятности различных результатов также и вообще всякого из- мерения (не обязательно измерения координат). При этом все эти вероятности определяются выражениями, билинейными по Ф и Ф*. Наиболее общий вид такого выражения есть V(q)y*(q'Mq,q')dqdq', B.1) где функция (p(q,qf) зависит от рода и результата измерения, а интегрирования производятся по всему конфигурационному про- странству. Сама вероятность ФФ* различных значений коорди- нат тоже является выражением такого типа2). С течением времени состояние системы, а с ним и волновая функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую функцию можно рассматривать как функцию также и от вре- мени. Если волновая функция известна в некоторый начальный момент времени, то по самому смыслу понятия полного описа- ния состояния она тем самым в принципе определена и во все будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой функции от времени определяется уравнениями, которые будут выведены в дальнейшем. Сумма вероятностей всех возможных значений координат си- стемы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому нужно, чтобы результат интегрирования |Ф|2 по всему конфигу- рационному пространству был равен единице: |Ф|2<*д = 1. B.2) Это равенство представляет собой так называемое условие нор- мировки волновых функций. Если интеграл от |Ф|2 сходится, то выбором соответствующего постоянного коэффициента функ- ция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы уви- дим, однако, в дальнейшем, что интеграл от |Ф|2 может рас- ходится и тогда Ф не может быть нормирована условием B.2). 1) Она была впервые введена в квантовую механику Шредингером (Е. Schrodinger, 1926). 2) Оно получается из B.1) при (f(q,q') = S(q — qoN(q/—qo), где 6 обозначает так называемую ^-функцию, определяемую ниже, в § 5; через qo обозначено значение координаты, вероятность которого мы ищем. §2 ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ 21 В таких случаях |Ф|2 не определяет, конечно, абсолютные значе- ния вероятности координат, но отношение квадратов |Ф|2 в двух различных точках конфигурационного пространства определяет относительную вероятность значений координат. Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции величины с непосредственным физическим смыслом имеют вид B.1), в котором Ф входит умноженной на Ф*, то ясно, что нормированная волновая функция определена лишь с точностью до постоянного фазового множителя вида ега, где а — любое ве- щественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не может быть устранена; однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических результатах. В основе положительного содержания квантовой механики лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функ- ции, заключающихся в следующем. Пусть в состоянии с волновой функцией Ф].(д) некоторое из- мерение приводит с достоверностью к определенному результа- ту— результату 1, а в состоянии Ф2(#)— к результату 2. Тогда принимается, что всякая линейная комбинация Фх и Ф2, т. е. вся- кая функция вида с\^\ + С2Ф2 (ci, C2 — постоянные), описывает состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1, либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам известна зависимость состояний от времени, которая для одного случая дается функцией "&i(q, ?), а для другого — Ф2(д, ?), то лю- бая их линейная комбинация тоже дает возможную зависимость состояния от времени. Эти утверждения составляют содержание так называемого принципа суперпозиции состояний — основного положительно- го принципа квантовой механики. Из него следует, в частности, что все уравнения, которым удовлетворяют волновые функции, должны быть линейными по Ф. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, и предпо- ложим, что состояние этой системы задано так, что каждая из частей записана полным образом1). Тогда можно утвер- ждать, что вероятности координат q\ первой части независимы от вероятностей координат #2 второй части, и потому распре- деление вероятностей для системы в целом должно быть рав- но произведению вероятностей для ее частей. Это значит, что волновая функция ^12(^1,^2) системы может быть представле- на в виде произведения волновых функций Ф1_(д1_) и Ф2(^2) ее ) Тем самым, конечно, дано и полное описание состояния системы в це- лом. Подчеркнем, однако, что обратное утверждение отнюдь не справедли- во: полное описание состояния системы как целого еще не определяет, вооб- ще говоря, полным образом состояний ее отдельных частей (см. также § 14). 22 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I частей: *2(?2). B-3) Если обе части не взаимодействуют друг с другом, то такое со- отношение между волновыми функциями системы и ее частей сохранится и в будущие моменты времени: *12 (91,92,*) = *i(9i,t)*2(92,t). B.4)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Принцип суперпозиции» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
