Уравнение движения в форме E0.10) позволяет снова убе- диться в адиабатической инвариантности переменной действия. Функция So(qj /; Л) — неоднозначная функция q\ при возвра- щении координаты к первоначальному значению к So прибавля- ется целое кратное от 2п1. Производная же E0.9) — однозначная функция, так как дифференцирование производится при посто- янном / и прибавляющиеся к So приращения при этом исче- зают. Как и всякая однозначная функция, функция Л, будучи выражена через угловую переменную w, будет периодической функцией этой переменной. Среднее же (по периоду) значение производной дЛ/dw от периодической функции обращается в нуль. Поэтому, усредняя уравнение E0.10) и вынося при этом Л (при медленном изменении Л) из-под знака среднего, получим что и требовалось. Уравнения движения E0.10), E0.11) позволяют рассмотреть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатический ин- вариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть па- раметр Л(?) стремится при t —»> —ос и t —»> +ос к постоянным § 51 ТОЧНОСТЬ СОХРАНЕНИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ИНВАРИАНТА 209 пределам Л_ и Л+; задано начальное (при t = —ос) значение /_ адиабатического инварианта, и требуется найти его приращение Д/ = /+—/_ ко времени t = +00. Из E0.10) имеем А/ --/?**• E1.2) Как уже было указано, величина Л — периодическая (с перио- дом 2п) функция переменной w\ разложим ее в ряд Фурье: оо — / ^ в А/ E1.о; (в силу вещественности Л коэффициенты разложения связаны при этом соотношениями Л_/ = Лг*). Отсюда для производной dA/dw имеем оо оо о д # ^ IIP /\ 7 2 Ti f ^ IIP /\ 7 ( j 1 4 I ^^^^ ^^^^ v * / /=-оо /=1 dw При достаточно малом Л производная w положительна (ее знак совпадает со знаком си, см. E0.11)), т.е. w — монотонная функция времени t. При переходе в E1.2) от интегрирования по dt к интегрированию по dw пределы останутся поэтому преж- ними: AT — - Г дА dX dt d J dw dt dw E1.5) О Подставим сюда E1.4) и преобразуем интеграл, рассматри- вая в нем формальным образом w как комплексную перемен- ную. Предположив, что подынтег- ральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях w, сместим путь интегрирования с вещественной оси w в верхнюю по- луплоскость этой переменной. При этом контур «зацепляется» за осо- бые точки подынтегрального выра- жения и, огибая их, принимает вид, показанный схематически на рис. 56. Пусть г^о — ближайшая к вещественной оси особая точка, т.е. точка с наименьшей по величине (положительной) мнимой ча- О Wq Рис. 56 210 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII стью. Главный вклад в интеграл E1.5) возникает от окрест- ности этой точки, причем каждый из членов ряда E1.4) дает вклад, содержащий множитель ехр (—Urn wq). Сохраняя опять- таки лишь член с наименьшим по абсолютной величине отрица- тельным показателем (т.е. член с I = 1), найдем, что 1). Д/сл exp(-Imw0). E1.6) Пусть to — «момент времени»(комплексное число!), отвечаю- щий особой точке г^о: w(to) = wo. По порядку величины |?о| совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это время через т2). Порядок же величины показателя степени в E1.6) будет Imwo ~ сит ~ т/Г. E1-7) Поскольку, по предположению, т ^ Г, то этот показатель велик. Таким образом, разность /+ — /_ убывает экспоненциально при уменьшении скорости изменения параметров системы 3). Для определения г^о в первом приближении по Г/т (т.е. с сох- ранением лишь члена порядка (Г/т) в показателе) можно отбро- сить в уравнении E0.11) малый член, содержащий Л, т.е. писать ^ = шG,Л(*)), E1.8) причем аргумент / функции си(/, Л) полагается постоянным, скажем, равным /_. Тогда to = Г a)(I,\(t))dt E1.9) (в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение ?; интересующая нас мнимая часть г^о от этого значе- ния не зависит) 4). г) В специальных случаях может оказаться, что разложение E1.4) не содержит члена с / = 1 (см., например, задачу к этому параграфу); во всех случаях надо брать член с наименьшим имеющимся в ряду значением /. ) Если медленность изменения параметра Л выражается в том, что он зависит от t лишь в виде отношения ?, = t/т с большим т, то to = т?,0, где ?,0 — не зависящая от т особая точка функции А(?,). 3) Отметим, что если начальное и конечное значения функции Л(?) сов- падают (Л+ = А_), то экспоненциально малой будет не только разность А/, но вместе с нею также и разность АЕ = Е+ — Е- конечной и начальной энергии; согласно D9.9) будем иметь АЕ = сиД/. 4) Более подробное доказательство сделаных утверждений, а также вы- числение предэкспоненциального множителя в формуле E1.6), можно най- ти в статье: Слуцкин А.А.//ЖЭТФ.—1963.—Т. 45.—С. 978. to § 51 ТОЧНОСТЬ СОХРАНЕНИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ИНВАРИАНТА 211 Интеграл же E1.5) с w из E1.8) (и с одним членом ряда E1.4) в качестве дЛ/dw) принимает вид А/ел Re Г ieiw^-. E1.10) J ">(/,Л) Отсюда видно, что в качестве конкурирующих (при отборе бли- жайшей к вещественной оси) особых точек фигурируют осо- бенности (полюсы, точки ветвления) функций Л(?) и 1/си(?). Напомним в этой связи, что заключение об экспоненциальной малости Д/ связано с предположением, что указанные функции не имеют вещественных особых точек.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точность сохранения адиабатического инварианта» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
