Применим уравнения Эйлера к более сложной задаче о сво- бодном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что h>h> h. C7.1) Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они да- ются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами 11П2 + 12П2 + 13П2 = 2Е, J?fi? + l\Vi\ + 1\п\ = М2, где энергия E и абсолютная величина момента М — заданные постоянные. Эти же два равенства, выраженные через компо- ненты вектора М, имеют вид Ml + М + М = 2Е, C7.3) h h h Ml + Ml + M\ = M2. C7.4) Уже отсюда можно сделать некоторые заключения о харак- тере движения волчка. Для этого заметим, что уравнения C7.3) и C7.4) представляют собой, геометрически в осях Mi, M2, М3, уравнения соответственно поверхности эллипсоида с полуосями и сферы радиусом М. При перемещении вектора М (относи- тельно осей инерции волчка) его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей (на рис. 51 изображен ряд таких линий пересечения эллипсоида со сферами различных ра- диусов). Самое наличие пересечения обеспечивается очевидны- ми неравенствами М2 < 2EIS, C7.5) 154 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI Рис. 51 геометрически означающими, что радиус сферы C7.4) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида C7.3). Проследим за изменением характера этих «траекторий» кон- ца вектора М х) по мере изменения величины М (при заданной энергии Е). Когда М2 лишь немногим превышает 2Е1\, сфера пересекает эллипсоид по двум замкнутым маленьким кривым, окружающим ось х\ вблизи соответствующих двух полюсов эл- липсоида (при М2 —»> 2Е1\ эти кривые стягиваются в точки — полюсы). По мере увеличения М2 кривые расширяются, а при М2 = 2EI2 превращаются в две плоские кривые (эллипсы), пе- ресекающиеся друг с другом в полюсах эллипсоида на оси Х2- При дальнейшем увеличении М2 вновь возникают две раздель- ные замкнутые траектории, но окружающие уже полюсы на оси жз; при М2 —> 2Е1% они стягиваются в эти две точки. Отметим, прежде всего, что замкнутость траекторий озна- чает периодичность перемещения вектора М по отношению к телу волчка; за время периода вектор М описывает некоторую коническую поверхность, возвращаясь в прежнее положение. Далее отметим существенно различный характер траекто- рий, близких к различным полюсам эллипсоида. Вблизи осей х\ и х% траектории расположены целиком в окрестности полюсов, ) Аналогичные кривые, описываемые концом вектора О, называются полодиями. § 37 АСИММЕТРИЧЕСКИЙ ВОЛЧОК 155 а траектории, проходящие вблизи полюсов на оси #2, в своем дальнейшем ходе удаляются на большие расстояния от этих то- чек. Такое различие соответствует разному характеру устойчи- вости вращения волчка вокруг его трех осей инерции. Вращение вокруг осей х\ и х% (отвечающих наибольшему и наименьшему из трех моментов инерции волчка) устойчиво в том смысле, что при малом отклонении от этих состояний волчок будет продол- жать совершать движение, близкое к первоначальному. Враще- ние же вокруг оси х2 неустойчиво; достаточно малого отклоне- ния, чтобы возникло движение, уводящее волчок в положения, далекие от первоначального. Для определения зависимости компонент ft (или пропорцио- нальных им компонент М) от времени обратимся к уравнениям Эйлера C6.5). Выразив tti и Г^з через ft2 из двух уравнений C7.2), C7.3) = т(т r^ ) ^ )^ Нун-Н) C7 6) ** ~ 2Eh) - h{h /)fii} и подставив во второе из уравнений C6.5), найдем *ь = ^АП1п3 = —L={[BEh - м2) - at 12 12 У1113 - h{I3 - h)u22][(M2 - 2Eh) - h{h - h)^l]}1'2. C7.7) Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию t(Q,2) в виде эллиптического интеграла. При приведе- нии его к стандартному виду будем считать для определенности, что М1 > 2Е12 (в обратном случае во всех следующих ниже формулах надо переставить индексы 1 и 3). Вводим вместо t и Г^ новые пере- менные и положительный параметр к < 1 согласно к2 _ (h - h)BEI3 - М2) Тогда получим О s ds 156 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI (начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда Л2 = 0). При обращении этого интеграла возникает, как извест- но, одна из эллиптических функций Якоби s = sn т, чем и определяется зависимость Г^ от времени. Функции ГЬ(^) и fts(t) выражаются алгебраически через ^(t) согласно равен- ствам C7.6). Учитывая определение двух других эллиптических функций сп т = дД — sn2 т, dn т = дД — к2 sn2 т, получим окончательно следующие формулы: 2EI3 - M2 М2 - C7ЛО) Функции C7.10) — периодические, причем их период по пе- ременной т равен, как известно, величине 4К, где if есть полный эллиптический интеграл первого рода: 1 тг/2 К= [ , ^ == / у ^ C7.11) о о Период же по времени дается, следовательно, выражением По истечении этого времени вектор Q возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка. (Самый же вол- чок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее положение относительно неподвижной системы координат — см. ниже.) При 1\ = /2 формулы C7.10), разумеется, приводятся к фор- мулам, полученным в предыдущем параграфе для симметриче- ского волчка. Действительно, при 1\ —»> /2 параметр к2 —»> 0, эллиптические функции вырождаются в круговые: sn т —)> sinT, сптч cost, dn т —»> 1, и мы возвращаемся к формулам C6.7). § 37 АСИММЕТРИЧЕСКИЙ ВОЛЧОК 157 При М2 = 2Е1% имеем: ?}1 = П2 = О, Г^з — const, т.е. век- тор ft постоянно направлен вдоль оси инерции жз; этот случай соответствует равномерному вращению волчка вокруг оси жз- Аналогичным образом при М2 = 2Е1\ (при этом т = 0) имеем равномерное вращение вокруг оси х\. Перейдем к определению абсолютного (по отношению к не- подвижной системе координат X, У, Z) движения волчка в про- странстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы г[>, ф, 6 между осями волчка жх, x2j х% и осями X, У, Z, выбрав при этом неподвижную ось Z вдоль направления посто- янного вектора М. Поскольку полярный угол и азимут направ- ления Z по отношению к осям жх, Ж2, жз равны соответственно 6 и 7г/2 — л\> (см. примеч. на с. 146), то, проецируя вектор М на оси жх, Ж2, жз, получим М sin 9 sinгр = М\ = Iiui, М sin6 cos-ф = М2 = /2П2, C7.13) М cos 6 = Ms = Отсюда с»е = тт, *+-Ш- C7Л4) и, используя формулы C7.10), найдем 2Ml}dnT, 1') C7.15) ) СПТ чем и определяется зависимость углов 0 и \|) от времени; вме- сте с компонентами вектора ft они являются периодическими функциями с периодом C7.12). Угол ф в формулы C7.13) не входит, и для его вычисления надо обратиться к формулам A0), выражающим компоненты ft через производные по времени эйлеровых углов. Исключая 6 из равенств Vt\ = ф sin 9 sinгр + 9cosi|j, ^2 = Ф sin 9 cost]; — 9sin\|;, получим . Qi sinip + ГЬ cos cp ф после чего, используя формулы C7.13), найдем 158 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI —— = JV1 — (Л i lo) LLli 11 *~ 2 2 Отсюда функция ф(?) определяется квадратурой, но подынте- гральное выражение содержит сложным образом эллиптические функции. Путем ряда довольно сложных преобразований этот интеграл может быть выражен через так называемые тэта-фун- кции; не приводя вычислений х), укажем лишь их окончатель- ный результат. Функция ф (?) может быть представлена (с точностью до про- извольной аддитивной постоянной) в виде суммы двух членов <p(t) = (pi(t) + <p2(t), C7.17) один из которых дается формулой P2i<pi(t) _ floi Bt/T - га) , , где -&01 ~~ тэта-функция, а ос — вещественная постоянная, опре- деляемая равенством (К и Г — из C7.11), C7.12)). Функция в правой части C7.18) — периодическая с периодом Г/2, так что (pi(?) изменяется на 2п за время Г. Второе слагаемое в C7.17) дается формулой 2nt г - М Эта функция испытывает приращение 2п за время Т1. Таким образом, движение по углу ф представляет собой со- вокупность двух периодических изменений, причем один из пе- риодов (Г) совпадает с периодом изменения углов л\> и 6, а дру- гой (Г') — несоизмерим с первым. Последнее обстоятельство приводит к тому, что при своем движении волчок никогда не возвращается, строго говоря, в свое первоначальное положение.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Асимметрический волчок» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
