Учет ангармонических членов при вынужденных колебани- ях системы приводит к появлению существенно новых особен- ностей в резонансных явлениях. Добавив в правой части уравнения B8.9) внешнюю периоди- ческую (с частотой у) силу, получим х + 2Хх + Шдж = ?- cosyt - ах2 - (Зж3; B9.1) 777/ здесь написана также сила трения с показателем затухания Л (предполагаемым ниже малым). Строго говоря, при учете нели- нейных членов в уравнении свободных колебаний должны учи- тываться также члены высших порядков в амплитуде вынуж- дающей силы, соответствующие возможной зависимости ее от смещения х. Мы не пишем этих членов лишь с целью упроще- ния формул; они не меняют качественной картины явлений. 118 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V Пусть У = Ш0 + ? (с малым е), т.е. мы находимся вблизи обычного резонанса. Для выяснения характера возникающего движения можно обойтись без непосредственного исследования уравнения B9.1), если вос- пользоваться следующими соображениями. В линейном приближении зависимость амплитуды Ъ вынуж- денного колебания от амплитуды / и частоты у внешней силы дается вблизи резонанса формулой B6.7), которую напишем в виДе ,2 b2(?2 + A2) = B92) Нелинейность колебаний приводит к появлению зависимости их собственной частоты от амплитуды; напишем ее в виде сио + хЬ2, B9.3) где постоянная к выражается определенным образом через ко- эффициент ангармоничности (см. B8.13)). Соответственно это- му заменяем в формуле B9.2) (точнее в малой разности у — а>о) Шо на Шо + кЪ2. Сохранив обозначение ? = у — Шо, получим в результате уравнение 2 b2[(?-xb2J + A2] = i;X_ B9.4) ИЛИ Л2 -л2. Л у 2mwobJ Уравнение B9.4), кубическое по отношению к Ь2, и его веще- ственные корни определяют амплитуду вынужденных колеба- ний. Рассмотрим зависимость этой амплитуды от частоты внеш- ней силы при заданной амплитуде силы /. При достаточно малых значениях / амплитуда Ъ тоже ма- ла, так что можно пренебречь в B9.4) степенями Ъ выше вто- рой, и мы возвращаемся к зависимости Ь(е) (см. B9.2)), изобра- жающейся симметричной кривой с максимумом в точке ? = О (рис. 32 а). По мере увеличения / кривая деформируется, сохра- няя сначала свой характер — с одним максимумом (рис. 32 б); последний смещается (при и > 0) в сторону положительных е. Из трех корней уравнения B9.4) при этом веществен лишь один. Однако, начиная с определенного значения f = fk (которое мы определим ниже), характер кривой меняется. При каждом 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 119 значении f > fk существует определенная область частот, в ко- торой уравнение B9.4) имеет три вещественных корня; ей отвеча- ет участок BCDE кривой на рис. 32 в. Границы этой области определя- ются условием db/dt = ос в точках D и С. Продифференцировав уравнение B9.4) по ?, получим db — ?б + >cb3 dt ?2 + Л2 — 4x?b2 + Зх2Ь4 ' Поэтому положение точек D ж С опре- деляется совместным решением урав- нений ?2 - 4хЬ2? + Зх2Ь4 + Л2 = 0 B9.5) и B9.4); соответствующие значения ? оба положительны. Наибольшее зна- чение амплитуды достигается в точке, где db/dt = 0. При этом ? = хЬ2, и из B9.4) имеем h - f . B9.6) Рис. 32 это значение совпадает с максимумом, даваемым зависимос- тью B9.2). Можно показать (на чем мы не будем здесь останавливать- ся х), что из трех вещественных корней уравнения B9.4) средний (т.е. участок CD кривой, изображенный на рис. 32 в штриховой линией) соответствует неустойчивым колебаниям системы: лю- бое сколь угодно слабое воздействие на систему, находящуюся в таком состоянии, привело бы к переходу к колебательному ре- жиму, отвечающему большему или меньшему корню (т.е. участ- кам ВС или DE). Таким образом, реальным колебаниям системы соответству- ют лишь ветви ABC и DEF. Замечательной особенностью является при этом наличие области частот, допускающих две различные амплитуды колебаний. Так, при постепенном увели- чении частоты внешней силы амплитуда вынужденных колеба- ний будет возрастать, следуя кривой ABC. В точке С произой- г) Доказательство можно найти, например, в книге Н. Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний».—М.: Физматгиз, 1958. 120 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V дет «срыв» амплитуды, которая скачком упадет до значения, отвечающего точке Е1, и затем (при дальнейшем увеличении частоты) будет меняться вдоль кривой EF. Если теперь вновь уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний бу- дет меняться вдоль кривой FD, в точке D скачком возрастает до В и затем будет уменьшаться вдоль В А. Для вычисления значения /& замечаем, что это есть то зна- чение /, при котором оба корня квадратного (по Ь2) уравнения B9.5) совпадают; при f = fk весь участок CD сводится к од- ной точке перегиба. Приравняв нулю дискриминант квадратно- го уравнения B9.5), получим е2 = ЗА ; соответствующий корень уравнения: нЪ2 = 2е/3. Подставляя эти значения Ъ и ? в B9.4), найдем ,2 _ Jk — Наряду с изменением характера резонансных явлений при частотах у « Шо нелинейность колебаний приводит также к появлению новых резонансов, в которых колебания с частотой, близкой к Шо, возбуждаются внешней силой с частотой, суще- ственно отличающейся от Шо- Пусть частота внешней силы у « cuo/2, т.е. у = сио/2 + ?. В первом, линейном, приближении она возбуждает в системе колебания с той же частотой и амплитудой, пропорциональной амплитуде силы (согласно формуле B2.4)). Но при учете нелинейных членов, во втором приближении, эти колебания приведут к появлению в правой части уравнения движения B9.1) члена с частотой 2у « си о- Именно, подставив х^ в уравнение Ж() + введя косинус удвоенного угла и сохраняя в правой части лишь резонансный член, получим ^ cos (ш0 + 2e)t. B9.8) Это уравнение отличается от уравнения B9.1) лишь тем, что вместо амплитуды силы / в нем стоит выражение, пропорцио- § 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 121 нальное квадрату /2. Это значит, что возникает резонанс такого же характера, как и рассмотренный выше резонанс на частотах у ~ Шо, но с меньшей интенсивностью. Зависимость Ь(е) получа- ется заменой / на — 8ос/2/(9та)^) (и е на 2е) в уравнении B9.4): Ь2[B?-х62J + Л2] = ^;. B9.9) Пусть теперь частота внешней силы у = 2си0 + ?. В первом приближении имеем При подстановке х = х^ + х^ в уравнение B9.1) мы не по- лучим членов, имеющих характер резонансной внешней силы, как это было в предыдущем случае. Возникает, однако, резонанс параметрического типа от члена третьего порядка, пропорцио- нального произведению х^х^2\ Если из всех нелинейных чле- нов сохранить лишь этот, то для ху } получим уравнение или "~* cosBwQ + c)t\xB) = 0, B9.10) т.е. уравнение типа B7.8) (с учетом трения), приводящее, как мы уже знаем, к неустойчивости колебаний в определенном ин- тервале частот. Однако для определения результирующей амплитуды коле- баний это уравнение недостаточно. Установление конечной ам- плитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелиней- ные по х^ члены: Исследование этой задачи можно очень упростить, отметив следующее обстоятельство. Положив в правой части уравне- ния B9.11) жB) = ь cos (сио + -J ? + 6 (где Ъ — искомая амплитуда резонансных колебаний, 6 — несу- щественный для дальнейшего постоянный сдвиг фазы) и пред- 122 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V ставив произведение двух периодических множителей в виде суммы двух косинусов, получим здесь член §)«-«] обычного резонансного (по отношению к собственной частоте системы Шо) характера. Поэтому задача снова сводится к рас- смотренной в начале параграфа задаче об обычном резонансе в нелинейной системе с тем лишь отличием, что роль амплитуды внешней силы играет теперь величина сх/ЬДЗшд) (а вместо ? стоит е/2). Произведя эту замену в уравнении B9.4), получим Решая это уравнение относительно Ь, найдем следующие воз- можные значения амплитуды: 6 = 0, B9.12) Ш -4 На рис. 33 изображена получающаяся отсюда зависимость Ъ от е (для к > 0; при х, < 0 кривые направлены в обратную сторону). Точки В л С от- вечают значениям Слева от точки В возмож- но лишь значение Ь = 0, т.е. ? резонанс отсутствует и ко- лебания с частотой порядка Шо не возбуждаются. В ин- тервале между В ж С имеем два корня: Ъ = 0 (отрезок ВС на рис. 33) и выражение B9.13) (ветвь BE). Наконец, справа от точки С существуют все три корня B9.12)-B9.14). Однако не все эти значения отвечают устойчивому колебательному ре- Рис# § 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 123 жиму. Значение Ъ = 0 неустойчиво на участке ВС х), и можно показать также, что всегда неустойчив режим, соответствующий корню B9.14) (промежуточному между двумя другими). На рис. 33 неустойчивые значения Ъ изображены штриховой линией. Проследим, например, за поведением первоначально «покоив- шейся» 2) системы при постепенном уменьшении частоты внеш- ней силы. До достижения точки С остается Ъ = 0, а затем про- исходит «срыв» этого состояния с переходом на ветвь ЕВ. При дальнейшем уменьшении ? амплитуда колебаний уменьшается до нуля в точке В. При обратном же увеличении частоты ам- плитуда колебаний растет вдоль кривой BE 3). Рассмотренные случаи резонансов являются основными из возникающих в нелинейной колебательной системе. В более вы- соких приближениях появляются резонансы и на других часто- тах. Строго говоря, резонанс должен возникать на всякой ча- стоте у, для которой пу + ma)Q = O)q (n, m — целые числа), т.е. при всяком у = pa)o/q, где p,q — снова целые числа. Однако с увеличением степени приближения интенсивность резонанс- ных явлений (а также ширины областей частот, в которых они должны иметь место) столь быстро убывает, что реально могут наблюдаться лишь резонансы на частотах у « pcoo/q с неболь- шими значениями р и q.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Резонанс в нелинейных колебаниях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
