Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второ- го порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях. Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной ма- лости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближе- ний (так называемой ангармоничности или нелинейности ко- лебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения. Произведем разложение функции Лагранжа до членов тре- тьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся чле- ны третьей степени по координатам Х{, в кинетической же энер- гии — члены, содержащие произведения скоростей и координат 114 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V вида Х{Хкх\\ это отличие от прежнего выражения B3.3) связано с оставлением членов первого порядка по ж в разложении функ- ций cbik{q). Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид 1 ^~^, 2 /_^\ г г г г ) i,k 1 \~^\ . . 1 \~^7 /ло ^ч А ¦^~^" о ¦^~^" где щк1, Цк1 — новые постоянные коэффициенты. Если от произвольных координат Х{ перейти к нормальным координатам (линейного приближения) Qa, то в силу линейно- сти этого преобразования третья и четвертая суммы в B8.1) пе- рейдут в аналогичные суммы, в которых вместо координат Х{ и скоростей Х{ будут стоять Qa и Qa. Обозначив коэффициенты в этих суммах через А^р-у и Ц(Х|Зу, получим функцию Лагранжа в виде - I X) I X) fiY. B8.2) cx,|3,y oc,|3,y Мы не станем выписывать полностью следующих из этой ла- гранжевой функции уравнений движения. Существенно, что они имеют вид Qoc + cvlQoc = /a(Q, Q, Q), B8.3) где foe — однородные функции второго порядка от координат Q и их производных по времени. Применяя метод последовательных приближений, ищем ре- шение этих уравнений в виде Qa = Q$ + Q$, B8.4) где Qa <^i Qol, а функции Q\J удовлетворяют «невозмущен- ным» уравнениям Ш + <Q$ = о, т.е. представляют собой обычные гармонические колебания Qa = а ос cos (со at + aa). B8.5) Сохраняя в следующем приближении в правой части урав- нений B8.3) лишь члены второго порядка малости, получим для величин Qol уравнения $ {1)A){1) B8.6) § 28 АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 115 где в правую часть должны быть подставлены выражения B8.5). В результате мы получим линейные неоднородные дифференци- альные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций. Так, например, Qa Q® = «ос^р COS ((Vat + (Xa) COS (шр? + (Xp) = Таким образом, в правых частях уравнений B8.6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными сум- мам и разностям собственных частот системы. Решение уравне- ний следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближе- нии на нормальные колебания системы с частотами cua накла- дываются дополнительные колебания с частотами Wcxicup B8.7) (в том числе удвоенные частоты 2си(Х и частота 0, соответствую- щая постоянному смещению). Эти частоты называются комби- национными. Амплитуды комбинационных колебаний пропор- циональны произведениям а^ар (или квадратам а^.) соответ- ствующих нормальных колебаний. В следующих приближениях при учете членов более высо- кого порядка в разложении функции Лагранжа возникают ком- бинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разностями большего числа частот ша. Кроме того, однако, воз- никает еще и новое явление. Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбина- ционных частот появляются частоты, совпадающие с исходны- ми tvot(tvot+tvр — сир). При применении описанного выше метода в правой части уравнений движения будут находиться, следо- вательно, резонансные члены, которые приведут к возникнове- нию в решении членов с возрастающей со временем амплиту- дой. Между тем, физически очевидно, что в замкнутой системе в отсутствие внешнего источника энергии не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний. В действительности в высших приближениях происходит из- менение основных частот cua по сравнению с их «невозмущен- ными» значениями си^ , фигурирующими в квадратичном вы- ражении потенциальной энергии. Появление же возрастающих 116 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V членов в решении связано с разложением типа cos (си|х + Дша)? и cos (а>а ?) — tAcuasin (cua't), явно незаконным при достаточно больших t. Поэтому при переходе к следующим приближениям метод последовательных приближений должен быть видоизменен так, чтобы фигурирующие в решении периодические множители с самого начала содержали точные, а не приближенные значения частот. Изменения же частот сами определятся в результате ре- шения уравнений как раз из условия отсутствия резонансных членов. Продемонстрируем этот метод на ангармонических колеба- ниях с одной степенью свободы, написав функцию Лагранжа в L = ™?- - ^ж2 - ™х3 - ^х4. B8.8) A А о 4 Соответствующее уравнение движения х + <х>1х = -осх2 - [Зж3. B8.9) Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений х = х^ + х™ + х&\ причем х^ = a cos cut B8.10) с точным значением си, которое само будем затем искать в виде ряда а) = Шо + си^1) + си^2) + ... (начальную фазу в х^ можно всегда обратить в нуль надлежащим выбором начала отсчета времени). При этом, однако, уравнение движения в виде B8.9) не вполне удобно, так как при подстановке в него B8.10) левая часть равенства не обратится строго в нуль. Поэтому перепишем его предварительно в эквивалентном виде g х + colx = -ах" - Эх8 - (l - g) x. B8.11) Положив здесь х = х^+х^2\ cv = cuo + cu^1^ и опустив члены выше второго порядка малости, получим для хк > уравнение х^ + cvlx^ = —oca2 cos2 cut — — -7Г- — -7Г- cos Bcut) + A A 7Г 7Г A A Условие отсутствия резонансного члена в правой части равен- ства дает просто си^ = 0 в соответствии с изложенным в начале параграфа методом нахождения второго приближения. После § 29 РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 117 этого, решая обычным способом неоднородное линейное уравне- 2 2 ооа . оса /о ,\ /оо 1 о\ ху > = ——^ + —? cos Bcut). B8.12) Далее, положив в B8.11) х = х^ +х^ +х^\ со = получим уравнение для х^ или, подставив в правую часть выражения B8.10) и B8.12) после простого преобразования: = -а3 т + -^-2 cos (Зш*)+ cos cut. Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе cos wt, найдем поправку к основной частоте, пропорциональную квадрату амплитуды колебания: шB) = Комбинационное ж:е колебание третьего порядка
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ангармонические колебания» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
ооа . оса /о ,\ /оо 1 о\ 