Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со вре- менем ее параметров х). Параметрами одномерной системы являются коэффициенты т и к в функции Лагранжа B1.3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит: ^-(тх) + кх = 0. B7.1) Путем введения вместо t новой независимой переменной т со- гласно dx = dt/m(t) это уравнение приводится к виду d2x -— + ткх = 0. dT2 Поэтому фактически, без всякого органичения общности, доста- точно рассмотреть уравнение движения вида g + cv2(t)x = 0, B7.2) которое получилось бы из B7.1) при т = const. Вид функции cv(t) задается условиями задачи; предполо- жим, что эта функция периодическая с некоторой частотой у (и периодом Г = 2п/у). Это значит, что г) Простым примером такого рода является маятник, точка подвеса ко- торого совершает заданное периодическое движение в вертикальном поло- жении (см. задачу 3). 108 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V а потому и все уравнение B7.2) инвариантно по отношению к преобразованию t —»> t + Т. Отсюда следует, что если x(t) есть решение уравнения, то и функция x(t + T) тоже есть решение. Другими словами, если x\{t) и X2(t) — два независимых интегра- ла уравнения B7.2), то при замене t —»> t + T они преобразуются линейным образом друг через друга. При этом можно х) выбрать Х\ЖХ2 таким образом, чтобы их изменение при замене t на t + T сводилось просто к умножению на постоянный множитель Xl(t + T) = ^xi(t), x2(t + T) = \i2x2(t). Наиболее общий вид функций, обладающих таким свойством, есть Xl(t) = ]i/TT\!(t), x2(t) = 4/ТП2(*), B7.3) где TTi(t) и П2(?) — чисто периодические функции времени (с пе- риодом Г). Постоянные цх и ц2 в этих функциях должны быть связа- ны друг с другом определенным соотношением. Действительно, умножив уравнения Х\ + OJ(t)xi = 0, Х2 + CV2(t)x2 = 0 и вычтя их почленно одно из другого, соответственно получим на Х\Х Х2 И, ¦2 X XI И1 2^1 = 1 It \2 2\ {\2 \2) = 0 или Ж1Ж2 — xi±2 = const. B7.4) Но при любых функциях x\[t) и X2(t) вида B7.3) выражение в левой части этого равенства умножается на щ Ц2 ПРИ изменении аргумента t на t + Т. Поэтому ясно, что соблюдение равенства B7.4) во всяком случае требует, чтобы было цхц2 = 1. B7.5) Дальнейшие заключения о постоянных ць ц2 можно сде- лать, исходя из факта вещественности коэффициентов уравне- ния B7.2). Если x[t) есть какой-либо интеграл такого уравнения, ) Этот выбор эквивалентен приведению к диагональному виду матрицы линейных преобразований x\(t) и #2(?), что требует решения соответству- ющего секулярного квадратного уравнения. Мы предполагаем, что корни этого уравнения не совпадают. § 27 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС 109 то и комплексно сопряженная функция ж* (?) должна удовлетво- рять тому же уравнению. Отсюда следует, что пара постоянных Ц]_, Ц2 должна совпадать с парой ц^, yi^, т.е. должно быть либо yi^ = ц*5 либо щ и ц2 вещественны. В первом случае, учитывая B7.5), имеем цх = 1/ц*, т.е. |Цх|2 = |Ц-2|2 — 1? постоянные цх и ц2 по модулю равны единице. Во втором же случае два независимых интеграла уравнения B7.2) имеют вид Xl(t) = ц*/тТТ1D), x2(t) = цГ*/тТТ2(*) B7.6) с отличным от единицы положительным или отрицательным ве- щественным числом ц. Одна из этих функций (первая или вто- рая при |ц| > 1 и |ц| < 1) экспоненциально возрастает со вре- менем. Это значит, что состояние покоя системы (в положении равновесия х = 0) будет неустойчивым: достаточно сколь угод- но слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение х стало быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом. Обратим внимание на то, что при строго равных нулю на- чальных значениях х и х они оставались бы равными нулю и в дальнейшем в отличие от обычного резонанса (§ 22), в кото- ром возрастание смещения со временем (пропорциональное t) происходит и от равного нулю начального значения. Выясним условия возникновения параметрического резонан- са в важном случае, когда функция ш(?) мало отличается от некоторой постоянной величины Шо и является простой перио- дической функцией ш2(?) = ш§A + h cosy*), B7.7) где постоянная /& «С 1 (мы будем считать h положительной, че- го всегда можно добиться надлежащим выбором начала отсчета времени). Как мы увидим ниже, наиболее интенсивным обра- зом параметрический резонанс возникает, если частота функции cv(t) близка к удвоенной частоте Шо- Поэтому положим у = 2ш0 + ?, где ? < шо- Решение уравнения движения х) х + ш§[1 + h cos Bш0 + e)t]x = 0 B7.8) ) Уравнение такого вида (с произвольными уи/i) называется в мате- матической физике уравнением Матьё. 110 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V будем искать в виде х = a(t) cos(w0 + -t\t + b(i) sin(w0 + |)t, B7.9) где a(t) и b(t) — медленно (по сравнению со множителями cos и sin) меняющиеся функции времени. Такой вид решения, разу- меется, не является точным. В действительности функция x(t) содержит также члены с частотами, отличающимися от a)Q + e/2 на целое кратное от 2шо + ?; эти члены, однако, высшего порядка малости по /г, и в первом приближении ими можно пренебречь (см. задачу 1). Подставим B7.9) в B7.8) и произведем вычисления, сохра- няя лишь члены первого порядка по е; при этом предположим, что a rsj ea, b ~ zb (правильность этого предположения в усло- виях резонанса подтвердится результатом). Произведения три- гонометрических множителей следует разложить в суммы (cuo + I)t • cos Bcuo + e)t = coso I)(o = - cos^3cu0 + yjt + - cos^cuo + I и т.п. и в соответствии со сказанным выше опустим члены с частотами 3(шо + с/2). В результате получим - Bа + Ы + ^ + B6 - az+^a)aH cos Выполнение этого равенства требует одновременного обращения в нуль коэффициентов при каждом из множителей sin и cos. Отсюда получаем систему двух линейных дифференциальных уравнений для функций a(i) и b(t). Следуя общим правилам, ищем решение, пропорциональное est. Тогда 2 и условие совместности эти двух алгебраических уравнений дает B7.10) § 27 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС 111 Условие возникновения параметрического резонанса заклю- чается в вещественности s (т.е. s2 > 0) г). Таким образом, резо- нанс имеет место в интервале вокруг частоты 2 си о 2). Ширина этого интервала пропорциональ- на /г, и такого же порядка осуществляющиеся в нем значения показателя усиления колебаний s. Параметрический резонанс имеет место также при часто- тах у изменения параметра системы, близких к значениям вида 2а)о/п, где п — любое целое число. Однако ширина резонанс- ных областей (областей неустойчивости) с увеличением п бы- стро уменьшается — как hn (см. задачу 2). Так же уменьшаются и значения показателя усиления колебаний в них. Явление параметрического резонанса существует и при на- личии слабого трения в системе, но область неустойчивости при этом несколько сужается. Как мы видели в § 25, трение при- водит к затуханию амплитуды колебаний по закону е~м. По- этому усиление колебаний при параметрическом резонансе про- исходит, как еE~Л)* (с положительным s, даваемым решением задачи без трения), а граница области неустойчивости опреде- ляется равенством s—Л = 0. Так, используя s из B7.10), получим для резонансной области вместо B7.11) неравенства -^/(/гшо/2J-4Л2 < е < ^/(/гшо/2J - 4Л2. B7.12) Обратим внимание на то, что при этом резонанс оказывается возможным не при сколь угодно малой амплитуде /г, а лишь начиная с определенного «порога» /г^, равного в случае B7.12) Можно показать, что для резонансов вблизи частот 2а)о/п ве- личина порога hk пропорциональна Л1/71, т.е. возрастает с уве- личением п.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Параметрический резонанс» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
