До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел про- исходит в пустоте или что влиянием среды на движение мож- но пренебречь. В действительности при движении тела в сре- де последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется. Процесс движения в этих условиях уже не является чисто ме- ханическим процессом, а его рассмотрение требует учета движе- ния самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем слу- чае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т.е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики. Существует, однако, определенная категория случаев, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем внедрения в них опре- деленных дополнительных членов. Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выпол- нении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) только от его скорости. Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно раз- ложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует ника- кой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения /тр, дейст- вующую на систему, совершающую одномерные малые колеба- ния с обобщенной координатой ж, можно написать в виде /тр = OCX, где ос — положительный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости. До- бавляя эту силу в правую часть уравнения движения, получим (ср. B1.4)) тх = —кх — осх. B5.1) § 25 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 101 Разделим его наши введем обозначения - = оI - = 2Л. B5.2) т и т v y си о есть частота свободных колебаний системы в отсутствие тре- ния. Величина Л называется коэффициентом затухания 1). Таким образом, имеем уравнение х + 2Хх + <?>1х = 0. B5.3) Следуя общим правилам решения линейных уравнений с посто- янными коэффициентами, полагаем х = ert и находим для г характеристическое уравнение г2 + 2Лг + а>1 = 0. Общее решение уравнения B5.3) есть х = Clerit + с2еГ2\ п,2 = -А ± ^/л2 - си2. Здесь следует различать два случая. Если Л < cuo, то мы имеем два комплексно сопряженных значения г. Общее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как х = Re |Лехр(-Л? + г?уЧи§ - Л2) j, где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать: x = ae~Mcos(cvt + oc), ш = у си§ - Л2, B5.4) где а л ос — вещественные постоянные. Выражаемое этими фор- мулами движение представляет собой так называемые зату- хающие колебания. Его можно рассматривать как гармониче- ские колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем Л, а «частота» со колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения; при Л ^С Шо разница между си и cuo — второго порядка малости. Уменьшение частоты при трении сле- довало ожидать заранее, поскольку трение вообще задерживает движение. Если Л ^С cuo, то за время одного периода 2п/а) амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет х) Безразмерное произведение ЛТ (где Т = 2я/си — период) называют логарифмическим декрементом затухания. 102 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменени- ем множителя е~ . Эти средние квадраты, очевидно, пропорци- ональны e~^t. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону Ё = Еое~ш, B5.5) где Eq — начальное значение энергии. Пусть теперь Л > Шо- Тогда оба значения г вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения х = - cug)t]+c2exp[-(A+y/A2 - cug)t]. B5.6) Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |ж|, т.е. в асим- птотическом (при t —>• ос) приближении к положению равнове- сия. Этот тип движения называют апериодическим затуханием. Наконец, в особом случае, когда Л = Шо, характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень г = — Л. Как из- вестно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид х = (a + c2t)e-M. B5.7) Это — особый случай апериодического затухания. Оно тоже не имеет колебательного характера. Для системы со многими степенями свободы обобщенные си- лы трения, соответствующие координатам а^, являются линей- ными функциями скоростей вида /гтр = -^2,0iikXk. B5.8) к Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких за- ключений о свойствах симметрии коэффициентов ос^/с по индек- сам г л к. Методами же статистической физики можно пока- зать х), что всегда otik = otki. B5.9) Поэтому выражения B5.8) могут быть написаны в виде произ- водных /iTp = -g B5.10) См. т. V, «Статистическая физика», § 121. § 25 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 103 от квадратичной формы ^2 B5.11) называемой диссипативной функцией. Силы B5.10) должны быть добавлены к правой части урав- нений Лагранжа Диссипативная функция имеет сама по себе важный физиче- ский смысл — ею определяется интенсивность диссипации энер- гии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем dt ~ dt \2^Xi дхг ) ~ 2^Xi \ dt dxi dxi) ~ 2^Xi dxi * г г г Поскольку F — квадратичная функция скоростей, то в силу тео- ремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой части равенства равна 2F. Таким образом, -2F, B5.13) т.е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной дис- сипативной функцией. Так как диссипативные процессы приво- дят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F > 0, т.е. квадратичная форма B5.11) существенно положительна. Уравнения малых колебаний при наличии трения получают- ся добавлением сил B5.8) в правую часть уравнений B3.5): ^jrnikxk + ^2 kikxk = -^2 KikXk- B5.14) k k k Положив в этих уравнениях xk = Aker\ получим по сокращении на ert систему линейных алгебраиче- ских уравнений для постоянных Ак ^2 (шгкг2 + оцкг + kik)Ak = 0. B5.15) к Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характе- ристическое уравнение, определяющее значения г: \mikr2 + otikr + kik\= 0. B5.16) 104 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V Это — уравнение степени 2s относительно г. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо веществен- ны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом веществен- ные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют от- рицательную вещественную часть. В противном случае коорди- наты и скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как наличие диссипатив- ных сил должно приводить к уменьшению энергии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Затухающие колебания» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
