Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колеба- ния называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно сла- бо, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией A/2) кх2 система обладает еще потенциальной энергией Ue(x, ?), связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополни- тельный член в ряд по степеням малой величины ж, получим Ue(x,t)*Ue@,t) + x^ . Ох х—о Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная про- изводная по t от некоторой другой функции времени). Во втором члене —dUe/dx есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией вре- мени; обозначим ее как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член —xF(t), так что функция Лагранжа системы будет § 22 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 83 B2.1) Соответствующее уравнение движения есть тх + кх = F(t), или х + ш2х= —F(t), B2.2) 777/ где мы снова ввели частоту си свободных колебаний. Как известно, общее решение неоднородного линейного диф- ференциального уравнения с постоянными коэффициентами по- лучается в виде суммы двух выражений: х = х$ + х\, где хо — общее решение однородного уравнения, а х\ — частный инте- грал неоднородного уравнения. В данном случае xq представ- ляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные колебания. Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуж- дающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой у: F(t) = /cos(yt + |3). B2.3) Частный интеграл уравнения B2.2) ищем в виде х\ = Ъ cos(yt + + C) с тем же периодическим множителем. Подстановка в урав- нение дает: Ъ = //[га(си2 — у2)]; прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде х = a cos (cut + ос) + , /—^ cos Ы + 6). B2.4) 4 у т(ш2 -у2) Произвольные постоянные а и ос определяются из начальных условий. Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой сово- купность двух колебаний — с собственной частотой системы со и с частотой вынуждающей силы у. Решение B2.4) неприменимо в случае так называемого резо- нанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собствен- ной частотой системы. Для нахождения общего решения урав- нения движения в этом случае перепишем выражение B2.4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде х = acos (cut + ос) + , ;—^t[cos (yt + C) - cos (cut + CI. v y m(cu2 — y2) При у —)> cu второй член дает неопределенность вида 0/0. Рас- 84 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V крывая ее по правилу Лопиталя, получим х = a cos (cot + ос) + -^—?sin(cu? + 6). B2.5) Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть приме- нимой) . Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резо- нанса, когда у = а) + е, где ? — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как х = Aeia)t + Ве*(ш+?)* = (А + Веш)е*ш*. B2.6) Так как величина А + Beizt мало меняется в течение периода 2п/ш множителя егш*, то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной ампли- тудой х). Обозначив последнюю через С, имеем С= \А + Веш\. Представив Ал В соответственно в виде аегос и Ьег^, получим С2 = а2 + Ъ2 + 2abcos (U + C - ос). B2.7) Таким образом, амплитуда колеблется периодически с часто- той г, меняясь между двумя пределами \а-Ъ\ ^ С ^ а + Ъ. Это явление носит название биений. Уравнение движения B2.2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F(t). Это легко сделать, переписав его предварительно в виде — (х + icvx) — icv(x + icvx) = — Fit) dty ; v ; m v ; или §l B2.8) где введена комплексная величина l = x + iujx. B2.9) Уравнение B2.8) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы ?, = Аегшг с постоянной А. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде ?, = A(t)eia)t и для функции A(t) получаем уравнение Меняется также «постоянный» член в фазе колебаний. §22 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 85 Интегрируя его, получим решение уравнения B2.8) в виде t i Г ± о B2.10) где постоянная интегрирования ?,о выбрана так, чтобы представ- лять собой значение ?, в момент времени t = 0. Это и есть иско- мое общее решение; функция x(t) дается мнимой частью выра- жения B2.10) (деленной на си) 1). Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, пе- редаваемую системе за все время действия силы (от — ос до + ос), предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно форму- ле B2.10) (с нижним пределом интегрирования —ос вместо нуля и с ?, (—ос) = 0) имеем при t —»> ос: |фо)|2 = ? ,—iuot dt С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра- жением Е — —(х2 + оJх2) = — l?l2 f22 111 Подставив сюда |?,(ос)|2, получим искомую передачу энергии в виде 2 Е = 2т ^—iwt dt B2.12) она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F(t) с частотой, равной собственной частоте системы. В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с 1/со), то можно положить e~ia)t « 1. Тогда = _W / F(t)dt) . г) При этом, разумеется, сила F(t) должна быть написана в веществен- ном виде. 86 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс f F dt, не успев за это время произвести заметного смещения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вынужденные колебания» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
