Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении од- ного тела, мы пришли к вопросу об определении движения ча- стицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния г до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным. Сила Or dr г' действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от г и направлена в каждой точке вдоль ра- диус-вектора. Как было уже показано в § 9, при движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть М= [гр]. Поскольку векторы Миг взаимно перпендикулярны, посто- янство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор 46 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. III все время остается в одной плоскости — плоскости, перпендику- лярной к М. Таким образом, траектория движения частицы в централь- ном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней по- лярные координаты г, ф, напишем функцию Лагранжа в ви- де (ср. D.5)) Ь=^(г2 + г2ф2)-и(г). A4.1) Эта функция не содержит в явном виде координату ф. Вся- кую обобщенную координату ^, не входящую явным образом в лагранжеву функцию, называют циклической. В силу уравне- ния Лагранжа имеем для такой координаты: d dL _ 8L_ _ Q dtdqt ~ dqi ~ ' т.е. соответствующий ей обобщенный импульс щ = dL/dqi яв- ляется интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат. В данном случае обобщенный импульс р^ = тг2ф совпадает с моментом Mz = М (см. (9.6)), так что мы возвра- щаемся к известному уже нам закону сохранения момента М = тг2ф = const. A4.2) Заметим, что для плоского движе- ния одной частицы в центральном ^ ]Li4J i ^ч поле этот закон допускает простую Ч геометрическую интерпретацию. Вы- ражение A/2)г-гс?ф представляет со- Рис# 8 бой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом ду- ги траектории (рис. 8). Обозначив ее как d/, напишем момент частицы в виде М = 2т/, A4.3) где производную / называют секториальной скоростью. По- этому сохранение момента означает постоянство секториальной скорости — за равные промежутки времени радиус-вектор дви- жущейся точки описывает равные площади (так называемый второй закон Кеплера) 1). г) Закон сохранения момента для частицы, движущейся в центральном поле, иногда называют интегралом площадей. § 14 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 47 Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энер- гии и момента, не выписывая при этом самих уравнений движе- ния. Выражая ф через М из A4.2) и подставляя в выражение для энергии, получим Е = ^(г2 + г2ф2) + U® = ^ + -^^ + U{r). A4.4) Отсюда dr /2 rz7, TTf 4i М2 dt V rnl v /J m2r2 = I dr + const. A4.6) 4J / Г t~j TTf \Л -LVJ- или, разделяя переменные и интегрируя — [Е-U (г)]- \ т mzrz Далее, написав A4.2) в виде А М А+ ац> = —2 "*? подставив сюда dt из A4.5) и интегрируя, находим /* (M/r2)dr , , ,1у1 , ф = / v 7 ; — + const. (ЫЛ J ^2m[E-U®]-M2/r2 V Формулы A4.6) и A4.7) решают в общем виде поставлен- ную задачу. Вторая из них определяет связь между гиф, т.е. уравнение траектории. Формула же A4.6) определяет в неявном виде расстояние г движущейся точки от центра как функцию времени. Отметим, что угол ф всегда меняется со временем мо- нотонным образом — из A4.2) видно, что ф никогда не меняет знака. Выражение A4.4) показывает, что радиальную часть движе- ния можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией Величину М2/Bгаг2) называют центробежной энергией. Зна- чения г, при которых определяют границы области движения по расстоянию от цен- тра. При выполнении равенства A4.9) радиальная скорость г обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (как при 48 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. III истинном одномерном движении), так как угловая скорость ф не обращается в нуль. Равенство г = 0 означает «точку поворота» траектории, в которой функция r(t) переходит от увеличения к уменьшению или наоборот. Если область допустимого изменения г ограничена лишь од- ним условием г ^ rmin, то движение частицы инфинитно — ее траектория приходит из бесконечности и уходит на бес- конечность. Если область изменения г имеет две границы гш[п и rmax, то движение является финитным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями г = rmax и г = = ^min- Это, однако, не означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого г из- меняется от rmax до rmin и затем до rmax, радиус-вектор повер- нется на угол Аф, равный, согласно A4.7), (M/r2)dr Аф = y/2m(E-U) -М2/г2 A4.10) Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 27Г, т.е. имел вид Лф = 27tra/n, где га, п — целые числа. Тогда через п повторений этого периода времени радиус-вектор точ- ки, сделав га полных обо- ротов, совпадает со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Однако такие случаи ис- ключительны, и при произ- вольном виде U(г) угол Аф не является рациональной частью от 2тс. Поэтому в об- щем случае траектория фи- Рмг Q нитного движения не замк- нута. Она бесчисленное чис- ло раз проходит через минимальное и максимальное расстояние (как, например, на рис. 9) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двумя граничными окружностями. § 14 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 49 Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в ко- 1 торых потенциальная энергия частицы пропорциональна - или г2. Первый из этих случаев рассмотрен в следующем пара- графе, а второй соответствует так называемому пространствен- ному осциллятору (см. задачу 3 §23). В точке поворота квадратный корень A4.5) (а вместе с ним и подынтегральные выражения в A4.6) и A4.7)) меняет знак. Если отсчитывать угол ф от направления радиус-вектора, про- веденного в точку поворота, то примыкающие с двух сторон к этой точке отрезки траектории будут отличаться лишь знаком ф при каждых одинаковых значениях г; это значит, что траекто- рия симметрична относительно указанного направления. Начав, скажем, от какой-либо из точек г = rmax, мы пройдем отрезок траектории до точки с г = rmin, затем будем иметь симмет- рично расположенный такой же отрезок до следующей точки с г = rmax и т.д., т.е. вся траектория получается повторением в прямом и обратном направлениях одинаковых отрезков. Это относится и к инфинитным траекториям, состоящим из двух симметричных ветвей, простирающихся от точки поворота rmin до бесконечности. Наличие центробежной энергии (при движении с М ф 0), обращающейся при г —»> 0 в бесконечность, как smallfraclr2, приводит обычно к невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля, даже если последнее само по себе имеет характер притяжения. «Падение» частицы в центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к —ос при г —»> 0. Из неравенства или г2С/(г) + ^ < Ег2 следует, что т может принимать стремящиеся к нулю значения лишь при условии т.е. U(г) должно стремиться к —ос либо как — — с ос > —, либо 4 ' г2 2т пропорционально — — с п > 2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в центральном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
