Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий вид лагранжевой функции такой си- стемы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть L=\a(q)q2-U(q), A1.1) где a(q) — некоторая функция обобщенной координаты q. В частности, если q есть декартова координата (назовем ее ж), то L=^f- U{x). A1.2) Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. При этом нет далее необходимости выписывать само уравнение движения, а следует исходить сразу из его первого интеграла — уравнения, выража- ющего закон сохранения энергии. Так, для функции Лагранжа A1.2) имеем ^f + Щх) = Е. Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, инте- грирующееся путем разделения переменных. Имеем dx откуда t = А[% f dx + const. A1.3) Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная инте- грирования const. 40 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. III Поскольку кинетическая энергия — величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т.е. движение может происходить только в тех областях пространства, где U(x) < Е. Пусть, например, зависимость U(х) имеет вид, изображен- ный на рис. 6. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энер- гии, мы сразу же выясним возможные области движения. Так в изображенном на рис. 6 случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от С. Точки, в которых потенциальная энергия равна полной U(x) = Е, A1.4) определяют границы движения. Они являются точками оста- новки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя та- кими точками, то движение проис- ходит в ограниченной области пространства; оно является, как говорят, финитным. Если же об- ласть движения не ограничена или ограничена лишь с одной сторо- ны, — движение инфинитно, частица уходит на бесконечность. Одномерное финитное движение является колебательным — частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами (на рис. 6 в потенциальной яме АВ между точками х\ и хъ). При этом согласно общему свойству обратимости (с. 19) время движения от х\ до Х2 равно времени обратного движения от Х2 до х\. Поэтому период колебания Г, т.е. время, за которое точка пройдет от х\ до Х2 и обратно, ра- вен удвоенному времени прохождения отрезка х\Х2 или соглас- но A1.3) U=E Х2(Е) Т(Е) = f J A1.5) xi(E) причем пределы х\ и Х2 являются корнями уравнения A1.4) при данном значении Е. Эта формула определяет период движения в зависимости от полной энергии частицы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Одномерное движение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
