Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение кото- рого связано с изотропией пространства. Эта изотропия означает, что механические свойства замкну- той системы не меняются при любом повороте системы как це- лого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим беско- нечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась. Введем вектор 6ф бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу 6ф поворота, а направление сов- падает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению 6ф). Найдем, прежде всего, чему равно при таком повороте при- ращение радиус-вектора, проведенного из общего начала коор- динат (расположенного на оси вращения) к ка- кой-либо из материальных точек поворачива- емой системы. Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением |6г| = г sin 6 • 6ф (рис. 5). Направление же вектора перпендику- лярно к плоскости, проходящей через г и 6ф. Поэтому ясно, что 6г=[6<р-г]. (9.1) При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому за- кону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат Sv = [бф-v]. (9.2) Подставив эти выражения в условие неизменяемости функ- ции Лагранжа при повороте о е Рис. 5 32 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ГЛ. II и заменив производные dL/dva = ра, dL/dra = ра, получим Га] + ра[6ф ' Va]) = О, а или, производя циклическую перестановку множителей и выно- ся 6ф за знак суммы, имеем гаРа] + [vaPa]) = 6ф— а а Ввиду произвольности 6ф отсюда следует, что а т.е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой систе- мы сохраняется векторная величина M = S>aPa], (9.3) а называемая моментом импульса (или просто моментом) си- стемы х). Аддитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимо- действия между частицами. Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Та- ким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента. Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частиц, то его значение, вообще говоря, зависит от выбора на- чала координат. Радиус-векторы га и г^ одной и той же точки по отношению к началам координат, смещенным на вектор а, связаны соотношением ra = r^ + а. Поэтому имеем ? [raPa] = а ИЛИ М = М' + [аР]. (9.4) Из этой формулы видно, что только в том случае, когда система как целое покоится (т.е. Р = 0), ее момент не зависит от выбора начала координат. На законе сохранения момента эта неопре- деленность его значения, разумеется, не сказывается, так как у замкнутой системы импульс тоже сохраняется. j Употребляется также названия вращательный момент или угловой момент. § 9 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 33 Выведем также формулу, связывающую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и К1, из которых вторая движется относительно первой со ско- ростью V. Будем считать, что начала координат в системах К и К1 в данный момент времени совпадают. Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны выра- жением va = v^ + V. Поэтому имеем Первая сумма в правой части равенства есть момент М7 в систе- ме К'\ введя во вторую сумму радиус-вектор центра инерции, согласно (8.3), получаем М = М' + ц[ВУ]. (9.5) Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергии аналогичные законы даются фор- мулами (8.1) и (8.5). Если система отсчета К1 есть та, в которой данная механичес- кая система покоится как целое, то V есть скорость центра инер- ции последней, а цУ — ее полный импульс Р (относительно К). Тогда М = М' + [ВР]. (9.6) Другими словами, момент импульса М механической системы складывается из ее «собственного момента» относительно си- стемы отсчета, в которой она покоится, и момента [RP], связан- ного с ее движением как целого. Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (отно- сительно произвольного начала координат) имеет место только для замкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь место и для систем, находящихся во внешнем поле. Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохраняется проекция момента на такую ось, относительно которой данное поле симметрично, и потому механические свойства системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конеч- но, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси. Наиболее важным случаем такого рода является поле с цен- тральной симметрией, т.е. поле, в котором потенциальная энер- гия зависит только от расстояния до некоторой определенной 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ГЛ. II точки (центра) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, про- ходящую через центр. Другими словами, сохраняется вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства, а относительно центра поля. Другой пример: однородное поле вдоль оси z, в котором со- храняется проекция Mz момента, причем начало координат мо- жет быть выбрано произвольным образом. Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назо- вем ее z) может быть найдена дифференцированием функции Лагранжа по формуле где координата ф есть угол поворота вокруг оси z. Это ясно уже из характера изложенного выше вывода закона сохранения момента, но в том же можно убедиться и прямым вычислением. В цилиндрических координатах г, ф, z имеем (подставляя ха = = га cos фа, уа = ra sin фа): а(хауа ~ УаХа) = ^ ГПаг1фа. (9.8) С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных имеет вид L = \Y,m^l + rl<pl + zl) - U а и ее подстановка в формулу (9.7) приводит к тому же выраже- нию (9.8).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Момент импульса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
