Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства. В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе систе- мы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмот- рим бесконечно малый перенос на отрезок е и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной. Параллельный перенос означает преобразование, при кото- ром все точки системы смещаются на один и тот же постоянный вектор е, т.е. их радиус-векторы га —> га + е. Изменение функ- ции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть 6т е2 а а а а где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности е требование ЬЬ = 0 эквива- лентно требованию g-* <") § 7 ИМПУЛЬС 27 В силу уравнений Лагранжа E.2) получаем отсюда EI О 7" J _ _ О 7" a OL a V^ uL p. а а Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой ме- ханической системе векторная величина а остается неизменной при движении. Вектор Р называется им- пульсом х) системы. Дифференцируя функцию Лагранжа E.1), найдем, что импульс следующим образом выражается через ско- рости точек: Р = J2ma-va. G.3) а Аддитивность импульса очевидна. Более того, в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов Ра = rnaVa отдельных частиц вне зависимости от возможности пренебреже- ния взаимодействием между ними. Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Однако отдель- ные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нем не зависит от какой- либо из декартовых координат. При переносе вдоль соответ- ствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что про- екция импульса на эту ось сохраняется. Так, в однородном поле, направленном вдоль оси z, сохраняются компоненты импульса вдоль осей х л у. Исходное равенство G.1) имеет простой физический смысл. Производная дЬ/дта = —dU/dra есть сила Fa, действующая на a-ю частицу. Таким образом, равенство G.1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю: = 0. G.4) В частности, в случае системы, состоящей всего из двух мате- риальных точек, Fi + F2 = 0: сила, действующая на первую Устаревшее название — количество движения. 28 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ГЛ. II частицу со стороны второй, равна по величине, но противопо- ложна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой. Это утверждение известно под названием закона равенства действия и противодействия. Если движение описывается обобщенными координатами д^, то производные лагранжевой функции по обобщенным скоро- стям Pi = Wt G.5) называются обобщенными импульсами, а производные называются обобщенными силами. В этих обозначениях уравне- ния Лагранжа имеют вид Pi = Fi. G.7) В декартовых координатах обобщенные импульсы совпадают с компонентами векторов ра. В общем же случае величины pi яв- ляются линейными однородными функциями обобщенных ско- ростей qt, отнюдь не сводящимися к произведениям массы на скорость.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Импульс» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
